3.23. Представление о результатах Поста

Определение. Система функций называется базисом в замкнутом классе , если , а .

Другими словами базис класса это есть его минимальная полная подсистема.

Пример: 1) - базис в .

2) - базис в .

Основные теоремы Поста:

Теорема 9. Каждый замкнутый класс из имеет конечный базис.

Теорема 10. Мощность множества замкнутых классов в счетна.

3.24. Задания для самостоятельной работы

В приведенных ниже заданиях формула, определяющая булеву функцию f (в зависимости от номера варианта), приведена в табл. 1.

1. Функцию f задать: а) с помощью таблицы; б) графически с использованием структуры.

2. С помощью эквивалентных преобразований упростить формулу, определяющую функцию f.

3. Построить функцию, двойственную функции f.

4. Представить функцию f : а) в виде СДНФ ; б) в виде СКНФ.

5. Определить, каким из классов Т0, Т1, S, L и M принадлежит функция f.

6. Выяснить, является ли данная функция шефферовой. Если нет, то какую одну функцию надо добавить к ней, чтобы получить полную систему. Единственным ли образом это можно сделать?

Таблица 1

Номер варианта Формула, определяющая функцию

1 (((x1+x4)(x2  x3))+((x1x4)x3x1x2) 2 ((x1x2)(x2  x4))((x3 +x4) x1x3) 3 ((x1+x3)(x2 x4))((x1+x3)(x2x4)) 4 ((((x1x2x3)(x1 x4))x1)+(x2x3))x1x3 5 (((x1 x2)(x3+x4))(( x1x3)x4))x3 6 ((x1+(x2x3))(x4 x1))(x1(x2+(x3x4))) 7 ((((x1x2)x3)+x4)(x1x3x2x4))x1x4 8 (((x1x3)+(x2x4))(x1x4)) (x3x2 x3) 9 ((x1((x2x4)+x3))x1x2)((x2x3)x4) 10 ((x1(x3x4))(x2+(x3x4)))(x1x3x4)

7. Выясните, полна ли система функций .

8. Выясните, полна ли система функций .

9. Выясните, полна ли система функций { }.

10. Выясните, полна ли система функций { }.

11. Выясните, полна ли система функций { }.

12. Выясните, полна ли система функций { }.

13. Выясните, полна ли система функций { }.

Раздел 4. Синтез управляющих систем

4.1. Схемы из функциональных элементов

Одним из интересных примеров приложения алгебры логики является теория управляющих систем. Основными классами “дискретных” управляющих систем являются контактные схемы, формулы, схемы из функциональных элементов (СФЭ).

В данном разделе остановимся на синтезе СФЭ. Рассмотрим такие дискретные преобразователи, т.е. устройства, которые обладают некоторым числом входов и выходов. Наборы сигналов, поступающие на входы и возникающие на выходах, принадлежат известным конечным множествам.

Устройства осуществляют преобразования входных сигналов в выходные. Выделим такой класс устройств, в которых время преобразования существенно мало по сравнению с длительностью сигналов (другими словами, временем преобразования в которых можно пренебречь). Математической моделью таких устройств и являются так называемые схемы из функциональных элементов.

Задача синтеза управляющих систем является одной из основных задач кибернетики. В общих чертах эта задача может быть сформулирована следующим образом. Пусть задан запас элементарных средств. Заданы правила построения из них более сложных образований - схем. Задан способ нахождения по схеме реализуемой ею функции. Задача синтеза состоит в получении для каждой функции наилучшей схемы, реализующей эту функцию.

Обозначения, используемые в дальнейшем в данном разделе:

- знак сложения по модулю 2;

log a – двоичный логарифм a;

[a] - наибольшее целое число, не превосходящее a;

< - неравенство, справедливое при достаточно больших n;

(асимптотически равно) - ;

( и - величины одного порядка) - .