3.2. Формулы

Пусть имеется некоторое подмножество B P_{2 .}

Определение. Формулой над множеством называется выражение вида:

1) , если ;

2) , если , а - либо формула над , либо переменная из нашего алфавита, где .

При этом никаких других формул над нет.

Пример: Пусть . Рассмотрим следующее выражение: , которое является формулой над , так как:

1. - формулы по определению.

2. - вместо подставляем - значит, формула.

3. - тоже формула.

Формулы удобно обозначать с помощью деревьев:

3 .3. Сопоставление формулам над множеством функций

Определение. 1) Если формула есть выражение вида , где , то формуле соответствует функция .

2) Если формула есть выражение вида , где ,

а) - формула над , то выражению сопоставлена функция ;

б) - переменная , то сопоставлена тождественная функция .

Тогда формуле вида сопоставим функцию .

Определение. Если формуле сопоставлена функция , то говорят, что формула реализует функцию . Тогда функцию называют суперпозицией функций из множества , а процесс получения функции из функций множества будем называть операцией суперпозиции.

Определение. Формулы и G называются эквивалентными (ФG), если они реализуют одинаковые функции.

Пример: Пусть .

Тогда Ф=(((x₁x₂)+x₁)+x₂) является формулой над , она строится за три шага. Мы имеем следующие подформулы , , .

Формуле соответствует функция , она определяется следующим образом:

0 0 0 1 1 0 1 1	0 0 0 1	0 0 1 0	0 1 1 1

Очевидно, что .

x y
0 0 0 1 1 0 1 1	1 1 0 1	1 0 1 0	1 1 0 0	1 1 0 1

Пример: Пусть даны формулы Ф=(x→y), G=( ), ФG?

Формулы и G эквивалентны, так как реализуют одинаковые функции.

3.4. Свойства элементарных функций

1. - коммутативность (аналогичным свойством обладают и « », « »,«»,«»,«»).

2. - ассоциативность (аналогичным свойством обладают « », « »,«»).

3.

- дистрибутивные законы

(y+z))= y)+ z)

4. .

5. , - законы де Моргана

6.

Замечание. Тождества могут быть проверены путем сопоставления функций, соответствующих правой и левой частям тождеств.

Замечание. С целью упрощения записи формул мы условимся, что операция сильнее операции .

7. Правило поглощения:

а) , где - формула.

Доказательство: .

б) , где - формула.

Доказательство: .

8. Правило склеивания:

а) , где - формула.

Доказательство: .

б) , где - формула.

Доказательство:

.

9. Правило обобщенного склеивания:

а) , где - формулы.

б) , где - формулы.

а) и б) доказать самостоятельно.