Задание 2 Построение графиков плотностей распределения диагностического параметра при двух диагнозах объекта.

Текст задания и исходные данные.

Техническое диагностирование объекта осуществляется по параметру К. Для исправного объекта даются среднее значение параметра К₁ и среднеквадратичное отклонение . Для неисправного соответственно К₂ и .

Известно, что закон распределения диагностического параметра К имеет нормальное распределение, как при диагнозе D_1, так и при диагнозе D₂.

Параметры распределения при диагнозе D₁: , СКО

Параметры распределения при диагнозе D₂: , СКО

Соотношение цен . Значения вероятностей Р₁=0,9 и Р₂=0,1.

Объект - газотурбинный двигатель.

Параметр - концентрация примесей меди (Сu) в масле (г/т).

Неисправное состояние – повышенная концентрация Cu в масле из-за интенсификации процессов изнашивания омедненных шлицевых соединений приводных валов.

Указания к выполнению и выполнение задания.

Для расчета точечных значений плотностей распределения использовать общую формулу дифференциальной плотности гауссовского (нормального) распределения:

(2.1)

Рекомендуется задаваемые значения К определять по правилу трех . Рассчитанные по формуле (2.1) значения сводятся в расчетную таблицу 2.1, после чего в виде 10 точек эти значения изображаются на масштабном поле f(k). Затем точки аппроксимируются двумя плавными кривыми (для диагнозов D₁ и D₂) (рисунок 2.1).

Таблица 2.1-Расчетная таблица

№ этапа	Переменные и выражения	Значения переменных (выражений) при различных ki
		Для диагноза D1							Для диагноза D2
		0,7	1	1,3	1,9	2,2	2,5	0		2	4	8	10	12
1	i	0,3							2
2	k*i	1,6							6
3		1,330145							0,199522
4		4,5	2	0,5	0,5	2	4,5	4,5		2	0,5	0,5	2	4,5
5		0,011109	0,1353353	0,60653066	0,60653066	0,1353353	0,011109	0,011109		0,1353353	0,60653066	0,60653066	0,1353353	0,011109
6	f(ki / Di) = (3)*(5)	0,014777	0,180016	0,806774	0,806774	0,180016	0,014777	0,002216		0,027002	0,121016	0,121016	0,027002	0,002216

Рисунок 2.1- Графики плотностей распределения диагностического параметра при двух диагнозах объекта

Выводы.

1. Построенные графики плотности распределения показателя k для диагнозов D₁ и D₂ образуют две достаточно различимые группы значений.

2. Области диагнозов D₁ и D₂ пересекаются, поэтому принципиально невозможно определить граничное (критическое) значение k₀, при котором не было бы ошибочных решений.

3. Для корректного разграничения диагнозов D₁ и D₂ значением k₀ необходимо применение специальных методов, например, методов статических решений.

Задание 3 Оценка граничного значения Ko с использованием критерия минимального риска.

Текст задания и исходные данные:

Рассчитать граничное значение К_о с использованием решающего правила (3.1) для критерия минимального риска. Считать распределение параметра К в 1-м и 2-м диагнозах (D₁ и D₂) нормальным. Найденное значение К_о указать вертикальной линией на графике полученном в задании 2. Дополнительно рассчитать значения вероятности ложной тревоги , вероятности пропуска дефекта и риска . Использовать исходные данные задания 2.

Указания к выполнению задания:

При получении квадратного уравнения относительно искомого значения Ко, а также и использовать таблицу квантилей нормального распределения. В качестве искомого корня квадратного уравнения использовать то значение, которое располагается между значениями и .

Для расчета корня уравнения вида использовать выражение:

(3.1)

Выполнение задания:

Решающее правило записывается следующим образом

Подставим в решающее правило выражение для плотностей и , считая, что f-плотности имеют нормальное распределение и выполнив логарифмирование (т.к.

), получим:

(3.2)

Подставим в формулу (3.2) исходные данные и преобразуем выражение для получения «стандартного» квадратного уравнения:

+ 25,6∙

(3.3)

Вычислим корни уравнения (3.2) по формуле (3.1):

Ориентируясь на график, представленный в задании 2, выбираем граничное значение к_о, которое попадает в промежуток между значениями и . Это значение к_о=2,267.

(3.4)

(3.5)

R = Р_ЛТ + (С₁₂ / С₂₁)·Р_ПД , (3.6)

По формулам (3.4, 3.5 и 3.6) рассчитаем значения вероятностей Р_ЛТ, Р_ПД и R:

.

.

.

Критическое значение показателя k₀, полученные с помощью критерия «минимального риска», равно 2,465. В данном критерии при определении значения k₀ учтены следующие факторы: цена вероятных ошибок диагностирования; статистическая точность результатов наблюдений; вероятность нахождения самолетов в различных состояниях (диагнозах).