1.3. Змінювана проста ставка відсотків
При укладанні фінансових угод іноді передбачають зміну відсоткових ставок у часі. Якщо це прості ставки, то нарощена сума на кінець терміну обчислюється наступним чином:
,
(8)
де
– значення ставок відсотків;
– довжини термінів відповідних ставок
,
.
Якщо
ставка змінюється протягом року, то
термін дії кожної ставки виражається
як відношення
(або відношення кількості місяців до
числа 12).
Приклад. Нехай трирічний контракт на 200000 грн. передбачає такий порядок нарахування відсотків: за перший рік – 8%, а в кожному наступному півріччі ставка підвищується на 0,5%. Обчислити нарощену суму боргу на кінець терміну контракту.
Розв’язання. Для обчислення нарощеної суми боргу скористаємось формулою (11):
грн.
Нарахування відсотків при зміні величини внесків з часом
Якщо сума, на яку нараховуються відсотки, змінює свою величину з часом (поточний рахунок при періодичному його поповненню або зняттю грошей з рахунку), то відсоткові гроші можна обчислити за формулою
, (9)
де
– сума залишку на рахунку в момент часу
j
після чергового поступлення або зняття
грошей з рахунку,
– термін зберігання грошей (в роках) до
нової зміни залишку на рахунку.
При практичних розрахунках користуються формулою, яка одержується з формули (8) за допомогою наступних її перетворень. Інтервали часу між моментами зміни величини залишку на рахунку виражають у днях, відсоткову ставку виражають у відсотках (а не десятковим дробом як вище). В результаті таких перетворень, дістанемо
,
(10)
де
– термін у днях між послідовними змінами
залишку на рахунку, K
– число днів у році.
Величину
називають відсотковим
числом,
а величина
–
відсотковим дільником
(дівізором).
Тоді
. (11)
Приклад. Рух коштів на депозитному рахунку характеризуються наступними даними: 05.02 поступило 12000 грн., 10.07 знято 4000 грн., а 20.10 поступило 8000 грн. Знайти, яка буде відсоткова сума на кінець року, якщо відсоткова ставка 20% річних?
Розв’язання.
Відсотковий дільник
.
Обчислення суми відсоткових чисел
подамо у вигляді наступної таблиці
Таким
чином, сума відсоткових грошей за весь
термін дорівнює
грн., а накопичена сума
грн.
Реінвестування за простими відсотками
На практиці при інвестуванні коштів в короткотермінові депозити інколи практикують декілька разове послідовне повторення нарощення за простими відсотками в межах заданого загального терміну інвестування. Фактично це означає реінвестування коштів, одержаних на кожному етапі нарощення, за допомогою постійної або змінюваної ставок. Нарощена сума для всього терміну обчислюється за формулою
,
(12)
де
– величина ставок, за якими здійснюється
реінвестування.
Якщо проміжні інтервали нарахування і ставки не змінюються з часом, то замість (12) маємо
,
(13)
де m – кількість повторень реінвестицій.
Приклад. 100000 тис. грн. внесли 1-го січня 2009 р. на місячний депозит під 20% річних. Яка буде нарощена сума, якщо операція повториться чотири рази?
Розв’язання. Якщо нараховуються точні відсотки (365/365), то
грн.
Нарахування звичайних відсотків (360/360) при реінвестування
грн.