Фінансова математика

Розділ 1. ПРОСТІ ВІДСОТКИ І ПРИКЛАДИ ЇХ ВИКОРИСТАННЯ

У банківській практиці

1. Нарощена сума боргу за простими відсотками

Під нарощеною (накопиченою) сумою боргу розуміють початкову її суму збільшену на величину нарахованих на неї відсоткових грошей на кінець терміну нарахування.

Якщо кожне нарахування відсотків проводиться від однієї суми (постійна база) то, як відомо, нараховані прості відсотки, а використана при цьому ставка називається простою відсотковою ставкою.

У банківській практиці нарощення за простими відсотковими ставками, як правило, використовується, якщо термін кредиту менше року – місяці або дні, або у випадку, коли відсотки не приєднуються до суми боргу, а періодично виплачуються.

Розглянемо процес нарощення простих відсотків, увівши наступні позначення:

Р – початкова сума боргу;

S – кінцева сума боргу (нарощена сума);

І – відсоткові гроші, нараховані за весь термін (відсотки);

R – відсоткова ставка;

– відсоткове число;

n – термін позички у роках або кількість періодів нарахування.

Нехай відсотки нараховуються від суми Р за ставкою і один раз наприкінці року. Тоді за кожний рік сума боргу зростатиме на величину Р і (суму відсоткових грошей за один період нарахування).

Наприкінці першого року користування грошима борг становитиме ; наприкінці другого – , наприкінці третього року – і т.д. Як бачимо, процес нарощення боргу за простими відсотками описується арифметичною прогресією з першим членом P і різницею .

Таким чином, нарощена сума боргу через n років дорівнюватиме , тобто

. (1)

Зрозуміло, що сума відсоткових грошей, нарахованих за n років буде складати

. (2)

З формул (1), (2) можна дістати формулу для нарощеної суми у вигляді

, (3)

тобто, нарощена сума дорівнює сумі початкового боргу і суми відсоткових грошей.

Якщо скористатись відсотковим числом, то формули (1),(2) можемо записати у вигляді

, . (4)

Приклад 1. Обчислити суму відсоткових грошей та кінцевого (накопиченого) боргу, якщо позичку 1000 грн. надали на 4 роки під прості відсотки заставкою 20% річних.

Розв’язання. При розв’язуванні задачі скористаємося позначеннями: , , .

Тоді, використавши формули (2) та (1), одержимо:

грн.;

грн.

Отже, сума відсоткових грошей, нарахованих за користування позичкою, становить 800 грн., а кінцева сума боргу – 1800 грн.

1.2. Обчислення точних, комерційних та звичайних відсотків

Оскільки відсоткова ставка, як правило, встановлюється у розрахунку на рік, то при строку позички менше року, необхідно визначити, яка частина відсотків має бути заплачена кредитору. Аналогічна проблема може виникнути й у будь-якій іншій фінансовій ситуації, коли термін нарахування відсотків менший, ніж період нарахування.

Введемо нові позначення: t – кількість днів користування грошима (позичкою); K – кількість днів у році (база нарахування). Тоді термін користування грошима в роках n можна виразити дробом , а формули нарахування відсоткових грошей та кінцевої суми боргу набудуть вигляду:

, (5)

. (6)

Величини t та K можуть набувати різних числових значень. Так, кількість днів користування грошима (t) можна обчислити точно по датах (використовуючи календар року) і наближено (якщо рахувати, що кожен місяць має 30 днів, а рік має 360 днів). Отже, база року (K) теж може бути наближена (360 днів) і точна (365 або 366 у високосному році). Дата надання та погашення боргу вважається одним днем, як при наближених, так і при точних обчисленнях t. Обчислення точного числа днів між двома датами можна спростити за допомогою спеціальної таблиці "Порядкові номери днів у році".

Методику обчислення числа днів розглянемо на прикладі.

Приклад 2. Нехай кредит надали 20.02, а погасили 16.10. Визначити скільки днів користувалися грошима (наближено і точно, рік не високосний).

Розв’язання. Спочатку кількість днів знайдемо наближено. Для цього від дати погашення віднімемо дату видачі кредиту:

	16. 10
-
	20. 02
-	04. 08

Одержаний результат (8 місяців мінус 4 дні) перетворимо у дні, вважаючи, що в місяці 30 днів: 308-4=236 (днів).

Під час віднімання дат виконується й умова, що день надання і день погашення кредиту вважається одним днем.

Щоб обчислити точне число днів, скористаємось таблицею "Порядкові номери днів у році". Порядковий номер дня погашення – 289 (16.10), а порядковий день надання кредиту 51 (20.02). Результат віднімання 289-51=238 (днів). Отже, точне число днів користування грошима на 2 дні більше, ніж наближене.

Різні значення t та K , які використовуються у формулах (5), (6), приводять до різних результатів у нарахуванні простих відсотків.

На практиці застосовуються три варіанти обчислень числа днів, які дали назву трьом видам простих відсотків.

1. Точні відсотки – якщо t – точне, а K=365, або 366 днів.

Цей спосіб нарахування відсотків, природно, дає найбільш точні результати. Його використовують як центральні банки, так і великі комерційні банки різних країн, зокрема, Великобританії, тому його називається англійським. В комерційних документах він позначається як 365/365 або АСТ/АСТ.

2. Комерційні відсотки – якщо t – точне, а K=360 днів.

Цей метод називають банківським, або французьким. Його використовують в комерційних банках Франції, Бельгії, Швейцарії при обліку векселі та інших банківських операціях. Його позначають, як 365/360 або АСТ/360. Цей спосіб нарахування відсотків дає дещо більший результат, як при використанні точних відсотків. Звернемо увагу, що при числі днів кредиту більшому за 360, даний спосіб приводить до того, що сума нарахованих відсотків буде більша, ніж передбачена річною ставкою. Наприклад, якщо t=364, то n=364/360=1,01111. Множник нарощення за рік, при умові, що і=20%, буде дорівнювати 1,20222 (замість 1,2).

3. Звичайні відсотки – якщо t – наближене, а K=360 днів.

Такий метод використовується, якщо при нарахуванні відсоткових грошей не потрібно великої точності, наприклад, при проміжних розрахунках, депозитах тощо. Такий метод використовується в практиці комерційних банків Німеччини, Швеції, Данії. Його називають німецьким методом і умовно позначають як 360/360.

Щоб з’ясувати, кому (боржнику чи кредитору) вигідні розглянуті типи відсотків (точні, комерційні і звичайні) розглянемо приклад.

Приклад 3. Позичка величиною 10000 грн. Надана 10.02.2009 року до 31.10 цього ж року під 22% річних. Яку суму відсоткових грошей заплатить боржник у день погашення боргу за умови декурсивного нарахування точних, комерційних та звичайних відсотків? Як зміниться при цьому величина кінцевої суми боргу?

Розв’язання. Визначимо наближене та точне число днів:

	31. 10			304
-			-
	10. 02			041
	21. 08			263

Отже, наближене число днів буде 21+308=261, а точне – 263.

Підставивши числові дані в формули (5), (6), отримаємо:

(грн.),

(грн.),

(грн.);

(грн.),

(грн.),

(грн.).

Результати показують, що для кредитора вигідними є комерційні відсотки, а для боржника – точні.

Якщо загальний термін кредиту захоплює два суміжні календарні роки і є необхідність в розподілі суми відсотків між ними, то загальна сума нарахованих простих відсотків буде складатися з суми відсотків, одержаних в кожному році, тобто:

, (7)

де , – частки терміну кредиту, які приходяться на кожний календарний рік.

Приклад 4. Кредит величиною 10000 грн. видано 20.02.2009 р. до 10.01.2010 р. під 18% річних. Яку суму повинен заплатити боржник у кінці терміну користування кредитом при використанні точних і звичайних відсотків?

Розв’язання. Шукаємо наближену кількість днів, як у прикладі 3:

	10. 01.2010
-
	20. 02.2009
-	10. -1. 1

Отже, наближене число днів буде 360-30-10=320 (днів).

Щоб правильно знайти точне число днів, підрахуємо їх в кожному році окремо, скористаємось таблицею "Порядкові номери днів у році" для кожного з років. У 2009 р. точне число днів буде 365-51=314; у 2004 – 10-0=10. Отже, точне число днів буде 314+10=324 (дні).

Обчислимо суму кредиту, яку повинен заплатити боржник, при використанні точних і комерційних відсотків:

(грн.),

(грн.).