Методы расчета надежности сложных технических систем

Существуют системы, которые невозможно интерпретировать в виде набора элементов с последовательным или параллельным соединением:

1) система «2 из 3» показана на рисунке 5.1, а - система, которая нормально функционирует только в том случае, если в работоспособном состоянии находятся два любых ее элемента. Отказ системы наступает, когда отказывают два или три элемента

Р_с = 3·Р² - 2·Р³; (5.1)

2) система «m из n» показана на рисунке 5.1, б - аналогичная схема, но здесь, допустим, необходимо, чтобы для нормальной работы системы функционировали 2 из 5 или 3 из 5 элементов; в общем виде такие системы - это случаи функционирования m из n элементов;

а б

Рисунок 5.1 - Сложные системы типа:

а) «2 из 3»; б) «m из n»

3) система типа «мостик», рисунок 5.2. Отказ системы будет, когда откажут элементы, например, 1 и 2 или 4 и 5.

Р_с = Р⁵ + 5·F·Р⁴ + 8·F²·Р³ + 2·F³·Р²; (5.2)

Рисунок 5.2 - Сложная система типа «мостик»

4) системы разветвляющегося или размножающегося типа, рисунок 5.3. Эта система перестает функционировать в тех случаях, если отказали, например, элементы 2 и 3 или 2, 6 и 7 и т.д.

Рисунок 5.3 - Схема разветвляющегося типа

Метод минимальных путей и минимальных сечений для определения надежности сложных систем

Минимальным путем называется последовательный минимальный набор работоспособных элементов данной системы, который обеспечивает функционирование системы, а отказ любого одного из этих элементов приводит к отказу системы.

Минимальным сечением называется последовательный набор неработоспособных элементов, который приводит к отказу системы, а восстановление одного из них приводит к восстановлению работоспособности всей системы.

В сложных системах может быть несколько минимальных путей и несколько минимальных сечений.

Для системы типа «мостик» (рисунок 5.4):

Рисунок 5.4 - Система типа «мостик»

минимальными путями будут

1) 1, 4 2) 2, 5 3) 1, 3, 5 4) 2, 3, 4;

минимальные сечения:

1) 1, 2 2) 4, 5 3) 1, 3, 5 4) 2, 3, 4.

Для последовательного соединения элементов имеется всего один путь и n сечений, если n - число последовательно включенных элементов (рисунок 5.5):

Рисунок 5.5 – Последовательное соединение

минимальными путями будут

1) 1, 2, 3;

минимальные сечения:

1) 1 2) 2 3) 3.

Для параллельного соединения n элементов число путей равно n, т.е. равно числу элементов, а сечений всего одно (рисунок 5.6):

Рисунок 5.6 – Параллельное соединение

минимальными путями будут

1) 1 2) 2 3) 3;

минимальные сечения:

1) 1, 2, 3.

Методика определения надежности сложных систем с помощью минимальных путей и минимальных сечений на примере системы «2 из 3»

Этап 1. Определить для сложной системы минимальные пути и минимальные сечения

Для системы «2 из 3» (рисунок 5.7):

Рисунок 5.7 – Система «2 из 3»

минимальными путями будут:

1) 1, 2 2) 1, 3 3) 2, 3;

минимальные сечения:

1) 1, 2 2) 1, 3 3) 2, 3.

Этап 2. Составить некоторую фиктивную структурную схему соединения

Существует два варианта составления таких схем.

1) структурная схема составляется в виде параллельного соединения всех минимальных путей;

2) все минимальные сечения в виде блоков с параллельным соединением элементов требуется соединить последовательно.

Фиктивные схемы для системы «2 из 3» будут иметь вид:

- на основе минимальных путей (рисунок 5.8);

- на основе минимальных сечений (рисунок 5.9).

Рисунок 5.8 - Фиктивная структурная схема на основе минимальных путей

Рисунок 5.9 - Фиктивная структурная схема на основе минимальных сечений

Этап 3. Составить условные системные функции для фиктивных схем.

Условная системная функция на основе путей по рисунку 5.8 имеет следующий вид:

(5.3)

где х_i - показатель надежности элементов, принимающий значения «да» или «нет», т.е. х_i = 1, если элемент работоспособен, и х_i = 0, если элемент отказывает;

i - номера элементов.

Условная системная функция на основе сечений по рисунку 5.9 имеет следующий вид:

(5.4)

Особенностью условной системной функции является то, что она составлена на использовании альтернативных или булевых переменных, которые могут принимать значения 1 или 0. Значит, и сама условная системная функция Ф(х) тоже может принимать значения 1 или 0. А это значит, что при решении уравнений (5.3) и (5.4) степени при х не имеют никакого значения, так как 1 и 0 в любых степенях дают все равно 1 и 0.

Преобразование (5.3) и (5.4) и удаление степеней приведет к следующему:

(5.5)

Этап 4. Заменить условную системную функцию функцией надежности первоначальной структурной схемы технического объекта Р_с(х).

Буллевы переменные х_i заменяются соответствующими функциями P_i(t), т.е. функциями надежности элементов. После замены буллевой функции и буллевых переменных в формуле (5.5) придем к выражению следующего вида:

(5.6)

К выражению (5.6), как мы установили, можно прийти как через минимальные пути, так и через минимальные сечения. В частном случае для системы «2 из 3», если

(5.7)

Уравнение (5.7) приведет к знакомому выражению

(5.8)

которое было получено и методом перебора, и комбинированным методом.

Для сложных произвольных структур метод путей и сечений дает приближенную оценку надежности технической системы, причем метод путей дает верхнюю границу оценки надежности.

Лекция 6. Резервирование. Методы, способы и типы резервирования. Задачи выбора оптимального числа резервных элементов в системе