Билет 1. Правила суммы и произведения в комбинаторике. Примеры

Возникновение комбинаторной теории

Комбинаторика – это область математики, изучающая вопрос, сколько разных комбинаций (наборов) можно составить из элементов заданного множества. При этом нужные комбинации подчиняются определенным требованиям, что приводит к различным методам решения задач по комбинаторике.

Истоки этой науки были положены знаменитым математиком и философом Готфридом Лейбницем.

Два основных правила комбинаторной теории

Теория комбинаторики зиждется на двух основных принципах – это правило сложения и правило умножения. Рассмотрим их подробнее.

Правило сложения: Пусть объект А мы можем выбрать из множества m способами, а объект В можно выбрать n способами, то объект «А+В» можно выбрать m+n способами.

Возможно, это правило покажется непосвященному человеку абракадаброй, но ничего сложного нет. Рассмотрим пример – пусть в одном ящике есть m шариков, а во втором ящике – n шариков. Сколькими способами можно вытащить шарик из одного этих ящиков. Очевидно, что ОДИН шарик можно достать m+n способами.

Правило умножения: Пусть объект А выбирается m способами, объект В выбирается n способами, то оба объекта можно выбрать mn способами. Все очень просто – каждый из m способов выбора объекта А комбинируется с каждым из n способов выбора объекта В, то есть количество способов просто умножается друг на друга.

Рассмотрим простой пример: сколько чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, если число должно быть двузначным? Можно составить 90 чисел – первую цифру числа (объект А) можем выбрать 9 способами, так как число не может начинаться с нуля. Вторую цифру числа (объект В) можем выбрать 10 способами, так как у нас есть 10 цифр. Итого получается 9∗10=90 чисел.

Это были главные правила, на которые опираются все методы решения задач по комбинаторике. Еще больше теории о началах комбинаторики вы найдете в онлайн учебнике: Элементы комбинаторики онлайн.

Примеры решения задач по комбинаторике

Перейдем к более продвинутым случаям и рассмотрим другие понятия комбинаторики.

Есть 5 книг. Сколькими способами их можно расположить на книжной полке? Ответ – 120 способов. Первую книгу можем выбрать 5 способами, вторую книгу 4 способами и т.д. Перемножая числа с 5 до 1, получим 120.

С этой задачи начинается понятие факториала. N-факториал или N! – это количество перестановок из N объектов, вычисляемое по формуле PN=N!=1∗2∗3∗…∗(N−1)∗N.

Следующий пример – в чемпионате мира участвуют 18 команд по футболу. Сколькими способами можно распределить золотые, серебряные и бронзовые комплекты? Ясно, что золотые медали может получить любая из команд, значит золотого призера (объект А) можно выбрать 18 способами. Остается два комплекта и 17 команд. Серебряным медалистом может стать одна из 17 команд, а бронзовым – одна из 16 команд. Значит, серебряного и бронзового медалиста можно выбрать 17 и 16 способами. Итого, три комплекта медалей могут распределиться 18*17*16 = 4896 способами.

Билет 2. Перестановки без повторений Если длина размещения без повторений равна числу т элементов множества Х, то в этом размещении встречаются по одному разу все элементы из Х. Два таких размещения отличаются друг от друга лишь порядком этих элементов. Такие размещения без повторений получили названия перестановок без повторений. Пример 11. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 3, 7 и 6, так, чтобы эти цифры не повторялись? Решение. В задаче рассматриваются размещения без повторений их трех элементов по три и их число можно подсчитать по формуле: Получим числа: 376, 367, 763, 736, 637, 673. Заметим, что в данном случае разные числа получаются в результате перестановки цифр. Поэтому можно дать такое определение перестановкам: Число перестановок без повторений из п элементов обозначают (от французского слова permutation – перестановка) и подсчитывают по формуле: Этот специальный знак читают «эн факториал». Слово «factorial» в переводе с английского означает «сомножитель». Факториал – функция, заданная на множестве Z₀. Пример 12. Сколько трехсловных предложений можно составить из трех слов: сегодня, дождь, идет? Решение. В задаче речь идет о различных перестановках из трех элементов: сегодня, дождь, идет. Их число подсчитывается по формуле Р₃ = 3! = 1  2  3 = 6.

Билет 3. Размещения без повторений. Примеры

Размещения без повторений Нередко встречаются задачи, в которых требуется подсчитать число кортежей длины т, образованных из п элементов некоторого множества, но при условии, что элементы в кортеже не повторяются. Такие кортежи называются размещениями без повторений из п элементов по т элементов. Число всевозможных размещений без повторений из п элементов по т элементов обозначают . Пример 10. В конкурсе принимает участие 20 человек. Сколькими способами можно присудить первую, вторую и третью премии? Решение. Не зная формулу для вычисления числа размещений без повторений, можно рассуждать так: присуждение первой премии можно осуществить двадцатью способами. Присуждение второй премии – девятнадцатью, так как один выбор из 20 уже использован, а выбор третьей премии – восемнадцатью способами, так как два выбора из 20 уже использованы. Отсюда, по правилу произведения, количество выборов присуждения премии подсчитываем по формуле: 20  19  18 = 6840.

Размещения без повторений.

Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так

чтобы все цифры были различны?

Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь 10

цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном

порядке считаются разными.

Если X-множество, состоящие из n элементов, m?n, то размещением без

повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное

множество X, содержащее m элементов называется упорядоченное множество X,

содержащее m элементов.

Количество всех размещений из n элементов по m обозначают

[pic]

n! - n-факториал (factorial анг. сомножитель) произведение чисел

натурального ряда от 1 до какого либо числа n

n!=1*2*3*...*n 0!=1

Значит, ответ на вышепоставленную задачу будет

[pic]

Задача

Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на

танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку.

И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами

считаются, разными, поэтому:

[pic]

Возможно 360 вариантов.

^ Выведем формулу для вычисления Пусть множество Х содержит п элементов. Будем образовывать из них различные размещения без повторений из п элементов по т элементов, т.е. кортежи длины т, но без повторяющихся элементов. Тогда выбор первого элемента таких кортежей можно осуществить п способами. Так как первый элемент выбран, то выбор второго элемента можно осуществить (п – 1) способами, третий элемент можно выбрать (п – 2) способами и т.д. Выбор элемента, стоящего на т месте, будет осуществлен (п – (т – 1)) = (п – т + 1) способами. Но выбор упорядоченного набора из т элементов, по правилу произведения, можно осуществить п(п – 1) (п – 2) … (п – т + 1) способами. Значит, . (1) Число размещений без повторений из п элементов по т элементов можно вычислять иначе. Для этого домножим и разделим правую часть формулы (1) на произведение: 1  2  3 … (п – т). (2)

Билет 4.Сочетания без повторении.Примеры.

Число сочетаний Будем строить из элементов множества Х не кортежи, а подмножества. Получим так называемые сочетания без повторений. Рассмотрим множество . Составим одно-, двух- и трехэлементные множества. Эти подмножества получили названия сочетаний из четырех элементов соответственно по одному, двум и трём элементам. Обозначают число сочетаний символом: (от французского слова combination – комбинация). Пример 13. Из двадцати рабочих необходимо выделить для поездки за границу 6 рабочих. Сколькими способами можно это сделать? Решение. Так как порядок выбора кандидатов для поездки за границу не играет роли, то в задаче речь идет о выделении из множества, в котором 20 элементов 6-и элементных подмножеств, т.е. о сочетаниях без повторений из двадцати элементов по шесть. Их число равно: Ответ: Выбор рабочих для поездки за границу составляет 38760 способов.

Билет 5.Размещения с повторениями.

Размещения

Размещениями из n элементов по m элементов (m < n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Число размещений без повторений из n по m (n различных элементов) вычисляется по формуле:

(3.1)

Размещениями с повторениями из n элементов по m называются упорядоченные m-элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.

Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:

(3.2)

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буквы могут повторяться?

Решение.

Получатся следующие наборы: БА, БР, АР, АБ, РБ, РА.

По формуле (3.1) получаем: наборов.

Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АБ, АР, РР, РБ, РА.

По формуле (3.2) получаем: наборов.

Пример. Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: "красный", "желтый", "зеленый"?

Решение. Выпишем несколько комбинаций: КККЖЗЗ, ЗЗЗЗЗЗ, КЖЗКЖЗ... Мы видим, что состав выборки меняется и порядок элементов существенен (ведь если, например, в выборке КЖЗКЖЗ поменять местами К и Ж, ситуация на дороге будет другой). Поэтому применяем формулу (3.2) и вычисляем число размещений с повторениями из 3 по 6, получаем комбинаций.

Билет 6.Краткая история возникновения теории

 Теория вероятностей возникла в середине XVII века. Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами.

Следующий (второй) период истории теории вероятностей ( XVIII в. и начало ХIХ в.) связан с именами А. Муавра (Англия), П. Лапласа (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это - период, когда теория вероятностей уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике (главным образом в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы).

Третий период истории теории вероятностей, (вторая половина XIX в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). Теория вероятностей развивалась в России и раньше (в XVIII в. ряд трудов по теории вероятности был написан работавшими в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли; во второй период развития теории вероятностей следует отметить работы М. В. Остроградского по вопросам теории вероятностей,связанным с математической статистикой, и В. Я. Буняковского по применениям теории вероятностей к страховому делу, статистике и демографии).

Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми. Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью, равной, например, ½, ещё не представляет само по себе окончательной ценности, так как мы стремимся к достоверному знанию. Окончательную познавательную ценность имеют те результаты теории вероятностей, которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо события А весьма близка к единице или (что то же самое) вероятность не наступления события А весьма мала. В соответствии с принципом "пренебрежения достаточно малыми вероятностями" такое событие справедливо считают практически достоверным. Поэтому можно также сказать, что теория вероятностей есть математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов.

Возможность применения методов теории вероятностей к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о которых будет сказано ниже. Изучение свойств вероятностей событий на основе этих простых соотношений и составляет предмет теории вероятностей. Наиболее просто определяются основные понятия теории вероятностей как математической дисциплины в рамках так называемой элементарной теории вероятностей.

Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым.

В 20-х гг. ХХ в. было обнаружено, что даже в схеме последовательности одинаково распределённых и независимых случайных величин могут вполне естественным образом возникать предельные распределения, отличные от нормального.

В Западной Европе во 2-й половине ХIX в. получили большое развитие работы по математической статистике (в Бельгии - А. Кетле, в Англии - Ф. Гальтон) и статистической физике (в Австрии - Л. Больцман), которые наряду с основными теоретическими работами Чебышева, Ляпунова и Маркова создали основу для существенного расширения проблематики теории вероятностей в четвёртом (современном) периоде её развития. Этот период истории теории вероятностей характеризуется чрезвычайным расширением круга её применений, созданием нескольких систем безукоризненно строгого математического обоснования теории вероятностей, новых мощных методов, требующих иногда применения (помимо классического анализа) средств теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа. В этот период при очень большом усилении работы по теории вероятностей за рубежом (во Франции - Э. Борель, П. Леви, М. Фреше, в Германии - Р. Мизес, в США - Н. Винер, В. Феллер, Дж. Дуб, в Швеции - Г. Крамер) современная наука продолжает занимать значительное, а в ряде направлений и ведущее положение. В нашей стране новый период развития теории вероятностей открывается деятельностью С.Н. Бернштейна, значительно обобщившего классические предельные теоремы Чебышева, Ляпунова и Маркова и впервые в России широко поставившего работу по применениям теории вероятностей к естествознанию им математической статистике.

Билет 7. Основные определения. Случайные, достоверные и невозможные события

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события).

Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.

К понятию «вероятность» существует несколько подходов.

Современное построение теории вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на элементарные понятия теории множеств. Такой подход называется теоретико-множественным.

Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Рассмотрим множество W всех возможных исходов опыта; каждый его элемент будем называть элементарным событием, а множество Ω – пространством элементарных событий. Любое событие A в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества Ω: .

Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте.

Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может.

Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.

Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.

Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.

Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит.

События A_k (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

лучайные события и их классификация, операции над событиями.

Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.

Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте.

Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может.

Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.

Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.

Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.

Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит.

События A_k (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

При преобразовании выражений можно пользоваться следующими тождествами:

.

Билет 8. Классическое определение вероятности. Примеры.

На основе вышеизложенного сформулированы аксиомы теории вероятностей. Пусть каждому событию ставится в соответствие число, называемое вероятностью события. Вероятность события A обозначается P(A). Так как событие есть множество, то вероятность события есть функция множества. Вероятности событий удовлетворяют следующим аксиомам.

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

(1.1)

Если A и B несовместные события, то

(1.2)

Вторая аксиома обобщается на любое число событий: если события А_i и A_j попарно несовместны для всех i≠j

События A₁, A_2, …, A_n называют равновозможными если

P(A₁)=P(A₂)= … =P(A_n). (1.3)

Если в каком-то опыте пространство элементарных событий Ω можно представить в виде полной группы несовместных и равновозможных событий ω₁, ω₂, …, ω_n, то такие события называются случаями, а сам опыт сводится к схеме случаев.

Случай ω_i называется благоприятным событием A, если он является элементом множества A: .

Классическое определение вероятности: вероятность события определяется по формуле

, (1.4)

где n - число элементарных равновозможных исходов данного опыта;

m - число равновозможных исходов, приводящих к появлению события.

Задача 1: Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места.

Решение: Вероятность набрать верную цифру из десяти равна по условию 1/10. Рассмотрим следующие случаи: 1. первый звонок оказался верным, вероятность равна 1/10 (сразу набрана нужная цифра). 2. первый звонок оказался неверным, а второй - верным, вероятность равна 9/10*1/9=1/10 (первый раз набрана неверная цифра, а второй раз верная из оставшихся девяти цифр). 3. первый и второй звонки оказались неверными, а третий - верным, вероятность равна 9/10*8/9*1/8=1/10 (аналогично пункту 2). Всего получаем P=1/10+1/10+1/10=3/10=0,3 - вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места. Ответ: 0,3

Задача 3. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех равновозможных элементарных исходов.

m=6, так как есть только три случая расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы во всех ящиках оказалось разное число шаров: (1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 1, 2).

Всего случаев расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы ни один ящик не остался пустым равно

m=C3−16−1=C25=5!2!3!=4⋅51⋅2=10.

Тогда искомая вероятность P=6/10=0,6.

Ответ: 0,6.

Билет 9. Статистическое определение вероятности. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты. Примеры.

Относительная частота.

Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности применимо только для очень

узкого класса задач, где все возможные исходы опыта можно свести к

схеме случаев. В большинстве реальных задач эта схема неприменима. В

таких ситуациях требуется определять вероятность события иным

образом. Для этого введем вначале понятие относительной частоты

W(A) события A как отношения числа опытов, в которых наблюдалось

событие А, к общему количеству проведенных испытаний:

W(A)=M/N,

где N – общее число опытов, М – число появлений события А.

Большое количество экспериментов показало, что если опыты

проводятся в одинаковых условиях, то для большого количества

испытаний относительная частота изменяется мало, колеблясь около

некоторого постоянного числа. Это число можно считать вероятностью

рассматриваемого события.

Определение. Статистической вероятностью события считают его

относительную частоту или число, близкое к ней.

Замечание 1. Из формулы (2) следует, что свойства вероятности,

доказанные для ее классического определения, справедливы и для

статистического определения вероятности.

Замечание 2. Для существования статистической вероятности события А

требуется:

1) возможность производить неограниченное число испытаний;

2) устойчивость относительных частот появления А в различных

сериях достаточно большого числа опытов.

Замечание 3. Недостатком статистического определения является

неоднозначность статистической вероятности.

Пример. Из 80 случайно выбранных сотрудников 3 человека имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. Относительная частота появления людей с больным сердцем

В качестве статической вероятности принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (статистическим определением вероятности). Число, к которому стремится устойчивая относительная частота, называется статистической вероятностью этого события.