1.7. Задания для самостоятельной работы

1. Найти точку пересечения прямых х +3у + 2 = 0 и 2х – у + 1 = 0.

2. Даны три вершины А(–2; 4); В (3; –2); С(5; 5) треугольника. Найти уравнение медианы и высоты, проведенные из вершины А.

3. Найти середину М отрезка АВ, где А(1; 1); В(6; 4).

4. Определить точки на осях Ох и Оу, через которые проходит прямая у = 6х+8.

5. Даны три вершины А (–2; –1); В(6; 2) и С(–4; 1) треугольника. Найти уравнение медианы и высоты, проведенной из вершины А. Сделать чертеж.

6. Найти длины медиан треугольника, если известны координаты его вершин А(2; 6), В(4; –2), С(6; 2).

7. Точки А(–2; 1), В(2; 3), С(4; –1) середины сторон треугольника. Найти координаты вершин этого треугольника и длины его сторон.

8. Прямая проходит через точки М(2; –3) и N(–6; 5). Найти точку на этой прямой, ордината которой равна (–5).

9. Найти точку пересечения прямых х +3у + 2 = 0 и 2х – у + 1 = 0.

10. Даны три вершины А(–2; 4); В(3; –2); С(5; 5) треугольника. Найти уравнение медианы и высоты, проведенных из вершины А.

11. Найти середину отрезка АВ, если А (1; 1), В (6; 4).

12. Определить точки на осях Ох и Оу, через которые проходит прямая у = 6х + 8.

2. Пределы и непрерывность

Упорядоченное множество чисел, каждое из которых имеет свой номер, называется последовательностью.

{x_n}=x₁, x₂,x₃,...,x_n,...,

x_n – называется общим членом последовательности.

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого  >0 найдется такой номер N, что, начиная с этого номера, т.е. при nN, выполняется:

x_n – a< .

Предел обозначается .

Согласно этому определению в  – окрестности, то есть в интервале (а–, а+) предельной точки последовательности, находится бесконечное число элементов этой последовательности.

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если, начиная с некоторого номера N все элементы этой последовательности оказываются в  – окрестности точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Функцией y=f(x) называется выражение (закон), по которому каждому элементу х соответствует значение y .

Число а называется пределом функции y = f(x) при хх₀, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа  >0, найдется такое число  >0, зависящее от , что для всех хх₀ и удовлетворяющих условию х–х₀ < , выполняется неравенство .

Этот предел обозначается: .

Если при хх₀ переменная х принимает лишь значения, меньшие х₀ и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят, что функция имеет односторонний предел, в данном случае предел слева:

.

Если переменная принимает значения большие х₀ при f(x)А, то функция имеет предел справа:

.

2.1. Основные теоремы о пределах

1. Предел постоянной величины есть само это число:

.

2. Если каждое слагаемое алгебраической суммы конечного числа функций имеет предел при хх₀, то предел этой алгебраической суммы существует и равен алгебраической сумме пределов этих функций:

.

3. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при хх₀, то предел произведения этих функций при хх₀ равен произведению сомножителей:

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

5. Если функция f(x) имеет предел при хх₀, то предел при хх₀ степени равен такой же степени предела этой же функции, то есть

.

6. Если делимое f(x) и делитель g(x) имеют пределы при хх₀ и предел делителя отличен от нуля, то предел дроби при хх₀ равен частному пределов числителя и знаменателя.

.

Иногда для вычисления предела необходимо раскрыть неопределенности вида: 0/0; и т.д.

Пример 2.1. Найти предел:

Решение:

Согласно теоремам о пределах имеем:

Пример 2.2. Найти предел:

Решение:

Подставляя в числитель и знаменатель х = 1, имеем:

.

Пример 2.3. Найти предел:

Решение:

Предел этой функции нельзя найти подстановкой, так как она представляет собой отношение двух бесконечно малых величин (неопределенность вида ). Преобразуем дробь, разложив числитель на множители:

.

Пример 2.4. Найти предел:

Решение:

Так как при х   числитель и знаменатель одновременно стремятся к бесконечности, то получена неопределенность вида .

Преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель на х².

.