1.3.4.Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Если известна точка (х₀; у₀), через которую проходит прямая, и ее угловой коэффициент k, то уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении имеет вид:

. (1.7)

Если в уравнении (1.7) считать, что k – заданное число, то получаем определенную прямую, а если k принимает все действительные значения (переменная величина), то это уравнение будет называться уравнением пучка прямых, то есть совокупность прямых, проходящих через данную точку (центр пучка). При этом k называется параметром пучка.

Пример 1.6. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1;2) с известным угловым коэффициентом k = 3.

Решение:

Применяем формулу (1.7): у –2 = 3(х – 1).

Раскрывая скобки, получим: y = 3x +1 или 3х – у +1 =0.

Пример 1.7. Написать уравнение прямой, проходящей через

точку (1;2), перпендикулярно прямой .

Решение:

Определим угловой коэффициент искомой прямой. Так как прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратные по величине и противоположные по знаку.

Прямая имеет угловой коэффициент , поэтому угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен .

На основании формулы (1.7) уравнение искомой прямой:

; или .

1.3.5.Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Если известны две точки (х₁; у₁) и (х₂; у₂), через которые проходит прямая, то уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид:

. (1.8)

Пример 1.8. Провести прямую через точки А (2;5) и В (11;8).

Решение:

Согласно (1.8) имеем:

или x –3y +13 =0.

1.4. Угол между прямыми

Угол между двумя прямыми определяется по формуле:

, (1.9)

где k₁ и k₂ – угловые коэффициенты первой и второй прямой.

Пример 1.9. Прямые заданы уравнениями: у = 2х+3 и у = –3х +2. Найти угол между ними.

Решение:

Угловые коэффициенты прямых равны k₁ = 2 и k₂=–3. Согласно формуле (1.9) имеем: .

=arctg1=/4.

Таким образом, угол равен /4.

1.5. Пересечение двух прямых

Так как точка пересечения прямых принадлежит двум прямым, то ее координаты должны одновременно удовлетворять обоим уравнениям прямых, т.е. являться корнями системы уравнений:

.

Пример 1.10. Найти точку пересечения прямых 2х +3у – 12 = 0 и

х – у –1 = 0.

Решение:

Для нахождения координат точки пересечения прямых решим систему уравнений:

Умножим второе уравнение на 3 и сложим с первым, получим: 5х – 15 = 0 или х = 3. Подставив его во второе уравнение, получим: у = 2.

Точка пересечения прямых: (3;2).

1.6. Расстояние от точки до прямой

Под расстоянием от точки до прямой понимается длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую (рис. 4).

Рис. 4. Расстояние от точки до прямой

Если известна точка М₀(х₀;у₀) и прямая , то расстояние от точки до прямой определяется по формуле:

. (1.10)

Пример 1.11: Найти расстояние от точки М(0; 6) до прямой 3х + 4у + 6 = 0.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки М до прямой воспользуемся формулой (1.10):

.

Пример 1.12. Даны три вершины А(2; –1); В(5; 3) и С (–1; 1) треугольника.

Найти:

1. уравнение медианы и высоты, проведенной из вершины А;

2. длину высоты опущенной из вершины А на прямую ВС.

3. Сделать чертеж.

Решение:

1. Найдем уравнение медианы АМ

По определению медианы точка M – это середина отрезка ВС, поэтому ее координаты определяются по формуле (1.2):

Получили координаты точки M (2, 2).

Уравнение медианы АМ определим по формуле (1.8):

x–2 = 0 или х=2.

Таким образом, прямая АМ проходит параллельно оси Оу через точку х=2.

2. Найдем уравнение высоты, проведенной из вершины А.

Так как прямая АD перпендикулярна прямой ВС, то их угловые коэффициенты связаны соотношением:

.

Вычислим угловые коэффициенты k_ВС и k_AD по формуле (1.5):

Уравнение прямой ВС определим по формуле (1.8):

.

3. Вычислим расстояние от точки А до прямой ВС по формуле (1.10):

.

Уравнение прямой АD находим по формуле (1.7):

.