1.2. Середина отрезка

Каждая координата середины отрезка равна сумме одноименных координат его концов:

(1.2)

Пример 1.2. Найти середину М отрезка АВ, где А(2,5); В(6,8).

Решение:

Согласно (1.2) имеем:

.

Точка С имеет координаты С(4;6,5).

1.3. Уравнение прямой на плоскости

Уравнение F(x,y)=0 называется уравнением линии (прямой или кривой), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на этой линии и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии. Сама линия в системе координат хОу, уравнение которой рассматривается, является графиком этого уравнения.

Для того, чтобы выяснить, лежит ли некоторая точка на линии, достаточно установить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению данной линии.

1.3.1.Общее уравнение прямой на плоскости

Всякое уравнение первой степени с двумя неизвестными представляет собой общее уравнение прямой на плоскости:

Ах + By + C = 0, (1.3)

причем А, В, С – постоянные коэффициенты, одновременно не равные нулю.

Частные случаи общего уравнения прямой:

• если By + C = 0 (то есть А = 0), то прямая параллельна оси Оx;

• если Ах + C = 0 (то есть В = 0), то прямая параллельна оси Оy;

• если Ах + В = 0 (то есть C = 0), то прямая проходит через начало координат;

• если Ах = 0 (то есть В = С = 0), то прямая совпадает с осью Оy;

• если Ву = 0 (то есть А = С = 0), то прямая совпадает с осью Ох.

1.3.2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Прямая может быть задана в виде уравнения с угловым коэффициентом:

y = kx + b, (1.4)

где k = tg – угловой коэффициент прямой – тангенс угла наклона прямой, которая образует угол  с положительным направлением оси Ох.

Рис.2. Прямая линия на плоскости

Если известны две точки (х₁; у₁) и (х₂; у₂), через которые проходит прямая, то угловой коэффициент прямой можно найти по формуле:

(1.5)

Пусть две прямые заданы уравнениями:

y₁(х) = k₁x + b₁ и y₂(х) = k₂x + b₂.

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны между собой: k₁ = k₂

Если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратные по величине и противоположны по знаку, т.е. .

Пример 1.3. Определить, являются ли прямые 2х + 5у + 1 =0 и 6x + 15y +10 =0 параллельными между собой.

Решение:

Приведем уравнения к виду: y = kx + b, т.е. к уравнению с угловым коэффициентом. Получим:

Т.к. угловые коэффициенты данных прямых равны, т.е. , то прямые параллельны.

Пример 1.4. Определить, являются ли прямые 2х + 5y –7 = 0 и

15х – 6y + 4 = 0 перпендикулярными.

Решение:

Приведем уравнение к виду (1.4): и то есть k₁= – 2/5 и k₂= 5/2.

Так как выполняется условие: то есть , то прямые перпендикулярны.

1.3.3.Уравнение прямой в отрезках

Часто применяют уравнение прямой в отрезках (рис. 3):

, (1.6)

где a – координата точки пересечения прямой с осью Ох;

b – координата точки пересечения прямой с осью Оу.

Рис. 3. Пересечение прямой с осями координат

Пример 1.5. Определить точки на осях Ох и Оу, через которые проходит прямая у = 3х + 5.

Решение:

Сведем уравнение прямой у = 3х +5 к уравнению в отрезках (1.6).

Поделив уравнение на 5, получим: .

Следовательно, прямая проходит через точки (0;5) и (–5/3;0).