Вид частных решений неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

	Вид правой части дифференциального уравнения f(x)	Условие выбора вида частного решения	Вид частного решения
1	f(x) = aemx	если m не является корнем характеристического уравнения	z = A emx
2	f(x) = ax2 + bx + c	если 0 не является корнем характеристического уравнения	z = Ax2 + Bx + C
3	f(x)=acoswx+ bsinwx	если wi не является корнем характеристического уравнения	z = A cos wx + + B sin wx

Пример 5.3. Найти общее решение линейного однородного уравнения:

у – 6у +9у = 0.

Решение:

Данному однородному дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение:

k² – 6k + 9 = 0.

Его корни k₁=k₂=3 действительные и равные. Тогда общее решение имеет вид:

.

Пример 5.4. Найти общее решение линейного однородного уравнения:

у – 4у = 0.

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

k² – 4k = 0.

Его корни действительны и различны: k₁=0, k₂=4.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Пример 5.5. Найти общее решение линейного однородного уравнения:

у – 2у+5у = 0.

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид:

k² – 2k +5 = 0

Найдем дискриминант: D = 4 – 20 = – 16, . Следовательно, корни характеристического уравнения будут комплексными: k_1,2= 12i , т.е. =1, =2.

Общее Решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Пример 5.6. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения: у – 6у + 8у = –2e^3x и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: y(0) = 1 и y(0)=0.

Решение:

По условию дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Его общее решение есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

у_о.н. = у* + z,

где у_о.н. – общее Решение неоднородного уравнения;

у* – общее Решение однородного уравнения;

z – частное Решение неоднородного уравнения.

1. Составим однородное дифференциальное уравнение:

у – 6у + 8у = 0.

Данному однородному дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение:

k² – 6k + 8 = 0.

Его корни k₁=2 и k₂=4 действительные и различные.

Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:

y* = C₁e^2x + C₂e^4x.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения.

Определим вид частного решения из табл.4.

Так как f(x)=–2e^3x и m=3 не равны корням характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде: z = Ae^3x.

Для нахождения неизвестного коэффициента А найдем z и z и подставим в уравнение:

z = (Ae^3x) = 3Ae^3x;

z = (3Ae^3x ) = 9Ae^3x;

9Ae^3x – 18Ae^3x + 8Ae^3x = –2e^3x;

–Ae^3x = –2e^3x, отсюда А = 2.

Частное решение неоднородного уравнения:

.

3. Общее решение неоднородного уравнения: у_о.н. = у* + z.

.

4. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1 и y(0)=0.

Для этого определим С₁ и С₂.

Продифференцируем общее решение и подставим начальные условия:

;

;

;

.

Подставим в общее решение начальные условия у(0)=1:

Для нахождения С₁ и С₂ решим систему уравнений:

.

Отсюда, С₁=1 и C₂ =–2.

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

.

Пример 5.7. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения:

у + 4у + 16у = х² + 1.

Решение:

По условию дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Его общее решение будем искать в виде:

у_о.н. = у* + z,

где у_о.н. – общее решение неоднородного уравнения;

у* – общее решение однородного уравнения;

z – частное решение неоднородного уравнения.

1. Составим однородное дифференциальное:

у + 4у + 16у = 0.

Данному однородному дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение:

k² +4k + 16 = 0.

Его корни k₁=–2 и k₂=–2 действительные и равные.

Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:

у* = e^–2x(C₁ + C₂x).

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения.

Определим вид частного решения из табл.4.

Так как f(x) = x² +1 и ноль не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде: z = Aх²+Вх+С.

Для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С найдем z и z и подставим в уравнение:

z = (Aх²+Вх+С) = 2Aх + В;

z = (2Aх + В) = 2А;

2А + 4(Ах+В) + 16(Aх²+Вх+С) = x² +1.

Раскроем скобки и приведем подобные при х:

16Ах² + (4А + 16В)х + 2А +4В + 16С = x² +1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях равенства, получим систему уравнений:

.

Откуда:

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

.

Следовательно, общее решение данного уравнения:

.

Пример 5.8. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения:

у + 2у + 5у = 2cos3х.

Решение:

Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Его общее решение будем искать в виде:

у_о.н. = у* + z,

где у_о.н. – общее Решение неоднородного уравнения;

у* – общее Решение однородного уравнения;

z – частное Решение неоднородного уравнения.

1. Составим однородное дифференциальное уравнение:

у + 2у + 5у = 0.

Для этого определим характеристическое уравнение и найдем его корни:

k² + 2k + 5 = 0.

Корни характеристического уравнения будут комплексными:

k_1,2= –12i , т.е. =–1, =2.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения.

Определим вид частного решения из табл.4.

Так как f(x) представляет собой неполный тригонометрический полином и w2i, то частное решение будем искать в виде:

z = Acos3х+Вsin3х.

Для нахождения неизвестных коэффициентов А, В найдем z и z:

z = (Acos3х+Вsin3х) = –3Asin3х + 3Вcos3x;

z = (–3Аsin3х + 3Вcos3x) = – 9Acos3х – 9Вsin3х;

Подставим z, z и z в уравнение:

– 9Acos3х – 9Вsin3х + 2(–3Asin3х + 3Вcos3x) + 5(Acos3х+Вsin3х) = =2cos3x.

Сгруппируем слагаемые при одинаковых тригонометрических функциях:

(–9А + 6В + 5А)cos3x + (–9B – 6A + 5B)sin3x = 2cos3x.

Приравняв коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получим систему уравнений:

.

Решая систему, получим:

Частное решение неоднородного уравнения:

.

Общее решение неоднородного уравнения:

.