5. Определенный интеграл

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b], где a<b. Разобьем отрезок на n произвольных частей точками a=х₀< х₁<…< х_i–1< х_i <…< х_n–1< х_n=b. На каждом отрезке [х_i–1; х_i] выберем произвольную точку и положим , где i =1,…n. Значение функции умножим на длину отрезка и составим сумму всех таких произведений.

Сумма вида называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a; b]. Геометрически интегральная сумма представляет собой алгебраическую сумму площадей прямоугольников, в основании которых лежат частичные отрезки , а высоты равны .

Обозначим через максимальную длину частичного отрезка разбиения. Найдем предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю, т.е. .

Под определенным интегралом от данной непрерывной функции f(x) на данном отрезке [a; b] понимается предел интегральных сумм при , то есть:

. (4.8)

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно, а отрезок [a,b] – областью (отрезком) интегрирования.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и функция F(x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона–Лейбница:

. (4.9)

Пример 4.10. Вычислить: .

Решение:

Найдем первообразную от степенной функции, а затем воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница (4.9):

Пример 4.11. Вычислить: .

Решение:

5. Геометрическое приложение определенных интегралов

Формулировка определенного интеграла позволяет получить различные формулы для нахождения длин, площадей и объемов геометрических фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y₁(x) y₂(x), х=а, х=b, вычисляется по формуле:

, (4.10)

где а; b – абсциссы точек пересечения кривых y₁ (x) и y₂ (x).

Пример 4.12: Найти площадь фигуры, образованной параболой и прямой . Сделать чертеж.

Решение:

Выполним чертеж.

Построим прямую по точкам A(0; 9) и B(–4,5; 0).

Для построения и анализа параболы y(x)=x²+6x+9 приведем ее к каноническому виду: .

– это парабола с вершиной в точке: (–3; 0) с осью симметрии параллельной оси Ох и ветвями, направленными вверх.

Точка пересечения параболы с осью Оy : C(0; 9) с осью Ох: D( –3; 0).

Найдем а и b – точки пересечения параболы и прямой. Для этого решим систему уравнений:

Таким образом, а= –4; b=0. Построим чертеж:

Найдем площадь фигуры по формуле (4.10):

5. Задания для самостоятельной работы

1. Найти интегралы.

1. (Ответ: .)

2. (Ответ: .)

3. (Ответ: .)

4. (Ответ: .)

5. (Ответ: .)

6. (Ответ: .)

7. (Ответ: .)

8. (Ответ: .)

9. (Ответ: .)

10. (Ответ: .)

11. Найти площадь фигуры, образованной линиями и х=0. (Ответ: )

12. Найти площадь фигуры, образованной кривыми и .

(Ответ: )

2. Вычислить интегралы, используя непосредственное интегрирование:

3. Вычислить интегралы, используя метод замены переменной:

4. Вычислить интегралы, используя метод интегрирования по частям: