4.4.4. Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов

Рациональной дробью называется функция, равная отношению двух многочленов , где P_m(x) и Q_n(x) – многочлены степени m и n соответственно.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в ее числителе меньше степени многочлена в знаменателе и неправильной, если степень многочлена в ее числителе не меньше степени многочлена в знаменателе.

Любую неправильную дроби можно представить в виде:

,

где P₀(x) – многочлен (целая часть при делении), – правильная рациональная дробь (остаток). Поэтому интеграл от рациональной дроби можно записать в виде:

.

Правильные рациональные дроби вида , , (корни знаменателя комплексные, т.е. p²–4q<0) называются простейшими рациональными дробями.

1. Если дробь имеет вид , где А и α – постоянные числа, то интегрирование производим по формуле:

. (4.4)

2. Если дробь имеет вид , где В и α – постоянные числа, то интегрирование производим по формуле:

(4.5)

3. Если дробь вида , где А, В, p и q – действительные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней (p²–4q<0), то интегрирование производим по формуле:

. (4.6)

Пример 4.8: Найти интеграл: .

Решение:

Дискриминант квадратного трехчлена в знаменателе не имеет действительных корней (p²–4q<0), поэтому данная дробь – третьего вида. Найдем производную знаменателя:

Выделим производную знаменателя в числителе

Так как , то имеем

Сделаем замену для интеграла : t=x²+4x+13 и dt=(2x+4)dx,

а для интеграла – k=x+2 и dk=dx.

Тогда

Рассмотрим общий случай, когда подынтегральная функция – правильная дробь. Знаменатель этой дроби Q(x) – многочлен, имеющий как действительные корни (среди которых есть кратные), так и комплексные (среди которых также есть кратные)

Q(x) = (х–х₁)^k1 (х–х₂) ^k2… (х–х_r) ^kr×(х²+p₁x+q₁)^s1 … (х²+p_mx+q_m) ^sm.

Тогда правильную рациональную дробь можно представить в виде:

(4.7)

где – неизвестные действительные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов.

Суть метода заключается в следующем. Для отыскания неизвестных коэффициентов правую часть равенства (4.7) приводим к общему знаменателю. В результате получаем тождество , где S(x) – многочлен с неопределенными коэффициентами. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то равны и числители, следовательно, после отбрасывания знаменателей и приведения в правой части подобных членов приходим к равенству . Приравнивая коэффициенты у одинаковых степеней переменной х, получаем систему n линейных уравнений относительно , из которой и определяем искомые коэффициенты.

Пример 4.9. .

Решение:

Подынтегральное выражение представляет собой неправильную рациональную дробь. Упростим ее, поделив числитель на знаменатель:

Запишем дробь в виде:

.

Для упрощения интегрирования разложим дробь методом неопределенных коэффициентов.

В знаменателе дроби находиться многочлен второй степени. Разложим знаменатель на множители:

.

Используя метод неопределенных коэффициентов, представим правую часть в виде суммы двух простых дробей, где А и В – неизвестные коэффициенты.

приводим к общему знаменателю:

.

Слева и справа стоят равные между собой дроби, у которых равны знаменатели, значит, равны и числители:

12х–17=(A+B)x + 4A – 2B.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х для нахождения неизвестных коэффициентов A и B:

.

Находим А и В из системы: .

Таким образом, подынтегральная дробь принимает вид:

.

Найдем интеграл: