4.4.1. Непосредственное интегрирование
Непосредственным интегрированием называется такой метод интегрирования, при котором данный интеграл сводится к одному или нескольким табличным интегралам путем тождественных преобразований подынтегрального выражения.
Пример
4.1. Найти
интеграл:
.
Решение:
.
При
решении применили формулы:
и свойства интеграла:
.
Пример
4.2. Найти
интеграл:
.
Решение:
.
При
решении применили формулы:
и свойства интеграла:
4.4.2. Метод подстановки (метод замены переменной)
Пусть
требуется вычислить интеграл
.
Метод подстановки заключается в введении
новой переменной t
с помощью равенства
,
где
часть подынтегрального выражения, а
его оставшаяся часть или все подынтегральное
выражение является дифференциалом этой
функции. При этом заданный интеграл
сводится к табличному.
Формула замены переменной в неопределенном интеграле имеет вид:
,
(4.2)
Этот метод применяется в том случае, когда подынтегральная функция является сложной функцией.
Пример
4.3. Найти
интеграл:
.
Решение:
Применим метод замены переменной, т.к. одна часть подынтегрального выражения представляет собой показательную функцию от х3, а другая с точностью до постоянного множителя – дифференциал этой функции.
Произведем
замену
.
Тогда
или
.
Следовательно,
.
Возвращаясь к старой переменной х, найдем
.
Пример
4.4. Найти
интеграл:
.
Решение:
Применим
метод замены переменной, т.к.
.
Обозначим:
u = x6 + ex , тогда du =d(x6 + e x ),
dx= (x6 + e x )dx= (6x5 + e x )dx.
Следовательно:
Применяли
формулы:
.
4.4.3. Метод интегрирования по частям
Если u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции, то справедливо равенство: d(uv)=udv+vdu или udv= d(uv) – vdu. Интегрируя это равенство, получаем следующее выражение:
.
(4.3)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Смысл этого метода состоит в том, чтобы в результате применения данной формулы, интеграл, стоящий в правой части, оказался табличным или хотя бы стал проще первоначального.
Этот формула применяется в том случае, когда подынтегральная функция является сложной функцией.
За u принимается функция, которая при дифференцировании упрощается.
За dv принимается оставшаяся часть подынтегрального выражения, интеграл от которой может быть найден.
Существует три группы интегралов, для которых применима формула интегрирования по частям:
где
Р(х)
– некоторый
многочлен.
Для нахождения интегралов первой группы при первом применении полагают u=Р(х), оставшуюся часть подынтегрального выражения принимают за dv. Формулу интегрирования применяют n раз, пока степень n переменной х не станет равной нулю, а сам интеграл – табличным.
Пример
4.5. Найти
интеграл:
Решение:
Это
интеграл первой группы. Используем
метод интегрирования по частям. Обозначим:
тогда
.
Постоянную С здесь полагаем равной нулю, то есть в качестве v берем одну из первообразных. Подставив найденные значения в (4.3), получим:
Для нахождения интегралов второй группы часть подынтегрального выражения Р(х)dх полагают за dv, а оставшуюся часть принимают за u. Формулу интегрирования применяют n раз, пока степень n не станет равной нулю, а сам интеграл – табличным.
Пример
4.6. Найти
интеграл:
.
Решение:
Это интеграл второй группы. Используем метод интегрирования по частям (4.3).
Обозначим:
тогда
.
Подставляя найденные выражения в формулу, получим:
где
a,
m,
k
– действительные числа (k
≠–1), n
– целое положительное число.
Интегралы третей группы вычисляются двукратным интегрированием по частям.
На практике метод интегрирования по частям часто комбинируется с другими методами интегрирования.
Пример
4.7. Найти
интеграл:
.
Решение:
Это интеграл третьей группы. Используем метод интегрирования по частям (4.3).
Обозначим:
(можно и
),
тогда
.
Используя формулу интегрирования по частям, имеем
.
К
полученному интегралу снова применим
формулу интегрирования по частям,
полагая
,
откуда
.
Тогда
Перенося интеграл из правой части равенства в левую, получаем:
.
,
где С =
С1/2.