3.5. Задания для самостоятельной работы
Найти производные функций:
Исследовать функции и построить их графики.
y = x2 +x
4. Интегральное исчисление
4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на промежутке Х, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F (x)= f(x).
Совокупность
всех первообразных для функций f(x)
называется неопределенным
интегралом
от функции f(x)
и обозначается
:
.
(4.1)
Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, а С – произвольной постоянной.
Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием.
4.2. Основные свойства неопределенного интеграла.
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.
Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е.
,
где а=
Сonst.
Интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.
.
Если
,
то если вместо переменной х
подынтегральной функции f(х)
и первообразной
F(х)
подставить выражение (kх+b),
тогда
появляется дополнительный множитель
перед первообразной, т.е.
,
где k
и
b
– некоторые числа, k≠0.
Если x – независимая переменная и
,
то неопределенный интеграл не зависит
от выбора аргумента, т.е.
,
где u(x)
–
непрерывно дифференцируемая функция
от независимой переменной x.
4.3. Таблица простейших неопределенных интегралов
В таблице интегралов, переменная х формально замена на u, которая может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной, т.к. неопределенный интеграл не зависит от выбора аргумента.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4. Основные методы интегрирования
При вычислении интеграла необходимо, пользуясь теми или иными приемами интегрирования, привести его к табличному и, таким образом, найти искомый результат. Наиболее важными методами интегрирования являются:
непосредственное интегрирование;
метод подстановки (метод замены переменной);
метод интегрирования по частям.