2.4.6. Пример расчёта плоской комбинированной системы

q = 12 кН / м

M = 50 кН∙м

D

K

u_K = ?

Кинематический анализ

1. Проверка условия

W < 0, где W = 3D –

– (3П + 2H + C + C₀):

D = 8 (ADC, CK, KBG,

Dp, pr, rs, ps и sK);

П = 0; H = 10 ; C = 0 ; C₀ = 4;

W = 3∙8 – (0 + 2∙10 + 0 + 4) = 0.

Требуется рассчитать комбинированную систему, изображённую на рис. 2.82, по указаниям, приведённым на с. 111. Принять EA = 1,5 м ^{– 2} EI.

2EI

C

r

F = 20 кН

2EA

EA

EA

EA

EI

EI

p

s

A

B

F

c_= 0,2 м ^–3 EI

2EI

G

c_

4 м

4

2

2

6

Рис. 2.82

2. Структурный анализ: СK + rs + sK = D₁ ( соединение с помощью трёх шарниров); D₁ + Dp + ADC= D₂ (посредством трёх шарниров); «земля» + D₂ + KBG = ГНС (попарно с помощью двух шар-ниров A и K и пары опорных связей). Все связи наложены правильно. Напоминание: податливая опора B в структурном анализе считается жёсткой.

Определение внутренних усилий и построение их эпюр

В соответствии с подходом, изложенным на с. 109 – 110, выполняем расчёт системы в порядке, обратном последовательности шагов её образования, выявленной структурным анализом:

 в первую очередь находим реакции опор A, B, G и в шарнире K;

 разделив систему сечением по шарниру С и стержню Dp, определяем усилие N_Dp и реакции в шарнире C;



q

G

последовательно вырезая узлы p и s, из условий их равновесия отыскиваем продольные силы в стержнях, испытывающих осевое растяжение или сжатие, – N_pr , N_ps , N_rs и N_sK ;



M

D

K

s

найденные реакции связей и

у

C







r

силия в стержнях используем

д

F

p

y

ля вычисления внутренних си-

л

F

H_A

A

B

x

овых факторов в изгибаемых

э

V_A

лементах.

V_B

V_G

4

Находим единственную го-

р

2

2

6

4 м

изонтальную опорную реакцию

H

Рис. 2.83

_A ( рис. 2.83 ) :  x = 0 H_A = F =

= 20 кН, после чего легко отыски-

вается V_A : V_A = ( H_A∙6 + q∙6∙9 – M + F∙4) / 12 = 66,5 кН.

V_C

q

Далее определяем V_G : V_G = F∙3 / 6 = 10 кН и, на-конец, из условия  x = 0 для системы в целом: V_B = q∙6 + F – V_A – – V_G = 15,5 кН.

H_C

C



D

Из равновесия части ADC ( рис. 2.84 ):

N_Dp = ( V_A∙4 – H_A∙6 – q∙4∙2 ) / h₁ ,

h₁

г

N_Dp

4 м

де h₁ = 4 м∙sin = 2,4 м; N_Dp = 20,833 кН;

A

H_A

H_C = – 36,667 кН;

V_A

Рис. 2.84

V_C = – 6 кН.

N_pr

y

Вырезав узел p ( рис. 2.85 ), имеем:



N_Dp

y = 0 N_pr = – N_Dp∙ sin __sin  = – 15,024 кН;





( sin  = 0,6; _sin  = 0,832 )



p

N_ps

x

x = 0 N_ps = N_Dp∙cos  – N_pr ∙_cos  = 25 кН.

Рис. 2.85

( cos  = 0,8; _cos  = 0,5547 )

y



N_rs

N_sK

Аналогично для узла s ( рис. 2.86 ):



 y = 0 N_rs ∙ sin  + N_sK ∙ sin __F = 0;

x

N_ps = 25

s

 x = 0 N_sK ∙ cos __N_rs ∙ cos __N_ps = 0,

F

откуда N_rs = 1,002 кН; N_sK = 31,944 кН.

Рис. 2.86

Используем найденные значения уси-

лий в стержнях и реакций опор для вычис-

л

120

ения ( по схеме рис. 2.87, а ) изгибающих моментов, продольных и поперечных сил в элементах с преобладающим изгибом. Эпюры M, N и Q представлены на рис. 2.87, б – г.

M = 50

q = 12

12

12

а) б)

C

K

D

120

20,833

31,944

F = 20

r

38

M

( кН∙м )

15,024

1,002

60

20

A

B

G

10

15,5

66,5

60

54

2

6

4 м

6

в) г)

18

6,333

25,555

Q

N

20

20

36,667

( кН )

( кН )

Рис. 2.87

10

25,5

66,5

Полученные результаты проверяются качественно – на соответствие построенных эпюр заданным нагрузкам ( см. с. 20 – 21 ) и количественно – контролем равновесия узлов, отсечённых частей и всей системы.

 m_D = 120 – 120 = 0;

 x = 20 + 20,833∙ cos  – 36,667 = – 0,0006 0;

 y = 66,5 – 20,833∙ sin  – 54 = 0,0002 .

Для узла r ( рис. 2.88, б ):

 m_r = 12 – 50 + 38 = 0;

 x = 36,667 + (15,024 + 1,002) ∙ cos  –

– 45,555 = 0,0016 0;

 y = –18 + (15,024 + 1,002) ∙ sin  + 6,333 =

= – 0,0007 .



Рассматриваем узел D с приложенными к нему усилиями в концевых сечениях примыкающих элементов ( рис. 2.88, а ):

120

36,667

y

D



а)

120

54

20

20,833

66,5

x

6,333

б)

12

38

50

36,667

r





45,555

18

15,0245

1,002

Аналогично выполняется проверка вы-

п

Рис. 2.88

олнения условий статики для узлов K и B.

Далее контролируем равновесие отсе-

ч

 m_r = 120 – 66,5 ∙ 6 + q ∙ 6 ∙ 3 +

+ 20,833 ∙ 6 ∙ sin  – 50 – 25 ∙ 3 –

– 20 ∙ 2 – 20 ∙ 3 + 60 + 25,5 ∙ 6 =

= – 0,0012 ;

 x = 20 + 20,833 ∙ cos  +

+ 15,024 ∙ cos  – 25 – 20 =

= 0,0002 0;

 y = 66,5 – 20,833 ∙ sin  – q ∙ 6 + +15,024 ∙ sin  – 20 +25,5 = 0,0002.

ённой части системы, для примера – показанной на рис. 2.89:

K

M = 50

q = 12

F = 20

D

r

20





20,833

120

s

25

15,024

66,5

0

F = 20

60

25,5

6 м

4

2

Рис. 2.89

Дополнительно можно осуществить статическую проверку для ещё одной – двух отсечённых частей и системы в целом.

Определение перемещения от заданной нагрузки

Для отыскания горизонтального перемещения точки K используем метод Максвелла – Мора ( см. п. 1.5 и [1 – 4 ] ). В комбинированной системе объединены элементы, основным видом де-формации которых является изгиб, со стержнями, испытывающие чистое растяжение или сжатие. Кроме того, имеется упругоподатливая опора В. Поэтому формулу Максвелла – Мора

( 1.27 ) применяем в виде

48_2.3

Переобозначив искомое перемещение u_K _1F , для его определения дополнительно рассматриваем вспомогательное единичное ( фиктивное ) состояние системы с горизонтальной силой в узле K, равной 1 ( рис. 2.90, а ). Выполняя расчёт по той же схеме, что в действительном состоянии ( см. с. 129 – 130 ), находим

H

K

C

6

1,5

_{A, 1} = 1; V_{A, 1} = – R_{B, 1} = 1 / 2; V_{G, 1} = 0; N_{Dp, 1} = N_{sK, 1} = – 5 / 3; N_{ps, 1} = – 2; N_{pr, 1} = N_{rs, 1} = 1,2019.

A

D

G

p

s

r

F₁ = 1

6

3

а ) б)

H_{A, 1}

i = 1

B

M₁

V_{A, 1}

R_{B, 1}

V_{G, 1}

Рис. 2.90

Далее определяем изгибающие моменты от F₁ = 1 – эпюра приведена на рис. 2.90, б.

«Перемножение» единичной M₁ и «грузовой» эпюр моментов для вычисления интегралов в формуле Максвелла – Мора производим по формуле Симпсона ( см. с. 40 ) на участке Dr ( шарнир С не является границей участков ) и по правилу Верещагина ( см. с. 39 ) на участках AD и rK ( имеем m_M = 3 ). Число элементов с учитываемыми продольными деформациями ( на исходной рас-чётной схеме обозначены типом жёсткости EA ) m_N = 5.

Используя эпюру M с рис. 2.87, б в качестве M_F , а также ра-нее найденные значения V_B , N_Dp , N_pr , …, N_sK ( см. с. 130 ) соответственно как R_{B, F} и N_{j, F} ( j = ), вычисляем

Знак «+» результата означает, что направление перемещения u_K – такое же, как у силы F₁ = 1, т. е. влево.

Ф а к у л ь т а т и в н о:

Формирование системы уравнений статики по конечно-элементной модели

q

M

4

e₇

b₄

b₂

Рекоменда- ции по рациональной нумерации эле-ментов и узлов даны на с. 127.

В вектор ис-комых силовых фак-

торов не включаем заведомо равные 0 моменты в сечениях у шарниров; вследствие этого уравнения

Расчётная схема элементов и узлов системы, составленная по алгоритму, изложенному и проиллюстрированному примером в п. 1.3.1 на с. 13 – 18, представлена на рис. 2.91.

1

6

7

e₄

b₇

e₂

2

4

b₁₀

2

8

b₁

с₉

3

5

9

с₃

с₅

с₆

с₈

5

F

1

6

10

F

3

e₁₀

7

9

8

11

e₁

e₁₁

b₁₁

H_A

V_A

V_B

V_G

Рис. 2.91

ния третьей группы ( см. с. 18 ) из системы ( 1.3 ) исключаются. Не записываются в явном виде также уравнения равновесия элементов 3, 5, 6, 8 и 9, испытывающих растяжение или сжатие. Для шарнирных узлов 2, 3, 5, 6, 8 и 9 составляем по два уравнения – в проекциях сил на оси x и y, а для жёстких узлов 1, 4 и 7 – по три. Таким образом, имеем:

S

10, 11:

= [ M_b1 Q_b1 N_b1 Q_e1 N_e1 M_b2 Q_b2 N_b2 Q_e2 N_e2 N_c3 Q_b4 N_b4 M_e4 Q_e4 N_e4 N_c5 N_c6 M_b7 Q_b7 N_b7 Q_e7 N_e7 N_c8 N_c9 Q_b10 N_b10 M_e10 Q_e10 N_e10 M_b11 Q_b11 N_b11 Q_e11 N_e11 V_A H_A V_B V_G ] ^т – 39 компонентов. Матрица коэффициентов уравнений равновесия элементов 1, 2, 4, 7,

…

m

x

y

m

x

y

m

x

y

m

x

y

1			-6																		1
		-1		1
	1		-1
					-1			-4													2
							-1		1
Ael = (18∙35)						1		-1
													1	-2							4
												-1			1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .											1			-1
																		-1	-2		11
																	-1			1
																			-1

Матрица коэффициентов второй группы уравнений ( 1.3 ) – для узлов:

…

m

x

y

x

y

x

y

- 1					1															1
	-1						1			0,8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Au = (21∙39)		-1				-1				-0,6
																-1				8
															1					1
			1															1		9
				1													1

Вектор свободных членов уравнений равновесия ( учёт нагрузки ):

B_F = [ 0 0 0 -96 0 -48 -24 0 -24 0 0 0 -60 -20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -50

0 0 0 -20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ^т.

Значения S, которые даёт решение системы ( 1.3 ), практически совпадают с най-денными в основном расчёте.