2.4.5. Пример расчёта плоской составной рамы

F = 30 кН

_D = ?

v_K = ?

Требуется рассчитать раму, изображённую на рис. 2.70, согласно указаниям, приведённым на с. 111. Принять EA = 0,5 м ^{– 2} EI.

q = 9 кН /м

К

q = 9 кН /м

D

инематический анализ

1

2EI

2EI

2EI

C

J

L

. Проверка условия

M = 60 кН∙ м

EI

EI

K

W < 0, где W = 3D –

EI

– (3П + 2H + C + C₀):

EA

B

P

D = 5 ( AL, KC, CDB,

3 м

3

3

3

3

A

G

BG и DJP ); П = 0;

H = 4; С = 1 (AK); С₀ = 6;

W = 3∙5 – (0 + 2∙4 + 1 + 6) = 0. Рис. 2.70

2. Структурный анализ: BG + «земля» = ГНС₁; AK + KC + LA = D₁ (трёхшарнирный); ГНС₁ + BDC + D₁ = ГНС₂ (трёхшарнирная сис-тема); ГНС₂ + DJP = ГНС. Все связи наложены правильно.

Определение внутренних усилий в раме и построение их эпюр

F = 30 кН

Как видно из структурного анализа, рама является составной системой с главной частью BG и второстепенными AKLCDB (ВЧ₁) и DJP (ВЧ₂). Порядок расчёта рамы: ВЧ₂ ВЧ₁ ГЧ.

q = 9 кН /м

D

H_D

y

Для ВЧ₂ ( рис. 2.71 ):



V_D

J

m_D = 0 V_P = (F∙3 + q∙4∙2) /6 = 27 кН;



3

3

x = 0 H_D = q∙4 = 36 кН;



x

y = 0 V_D = F – H_D = 3 кН.

P

Эпюры внутренних силовых

факт

V_P

оров в ВЧ₂ даны на рис. 2.72. Рис. 2.71

F∙3∙3/6

72

36

3

9

36

27

27

M

Q

N

( кН )

( кН )

( кН∙м )

Рис. 2.72

Замечание. Эпюра M может быть построена без определения опорных реакций: на участке JP и дополнительная на DJ от нагрузки F – как типовые из табл. 1.2. Эпюра Q – по M ( см. с. 19 – 20 ), N – из условий равновесия узла J.

q = 9 кН /м

V_D = 3 кН

C

а)

n, - 20 з табл. от нагрузки Аления опорных реакций00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000Далее рассматриваем трёхшарнирную второстепенную часть ВЧ₁ ( рис. 2.73, а ). Шарниры A и B находятся на разных уровнях, и при этом ключевой шарнир С

н

D

K

H_D = 36 кН

y

L

е располагается ни на общей

в

I

ертикали, ни на общей гори-

з

M = 60 кН∙ м

онтали с каким-либо из опор-

н

B

I

ых шарниров. Поэтому реак-

ц

x

A

₀

ии связей определяем по алго-

р

итму, изложенному на с. 101 –

1

3

3

3

03. Кроме нагрузок, прило-

ж

V_D = 3 кН

енных к ВЧ₁, учитываем дав-

л

D

C

H_С

б)

ение, которое на неё оказыва-

е

H_D = 36 кН

V_С

т ВЧ₂ ( направления H_D и V_D –

п

f '

ротивоположные показанным на рис. 2.72 ).



B

₀

m_A = 0 = (V_D∙ 6 + M – H_D∙ 6) /6 = – 23 кН;



= –23 кН

3

m_B = 0 = (H_D∙ 4 + q ∙6∙6 – M ) /6 = 68 кН;

 x = 0

Рис. 2.73

Для определения рассматриваем

правую часть ТШС ( рис. 2.73, б) и записы-

ваем уравнение равновесия моментов относительно точки С:

, где f ' = 5 м ∙cos ₀ ( рис. 2.73, б );

получаем –15,6 / cos ₀ . Из третьего уравнения вышеприве-

дённой системы условий статики всей ВЧ₁ находим

H_D / cos ₀ = 20,4 / cos ₀ .

Для дальнейших расчётов удобно перейти к вертикальным и горизонтальным составляющим реакций ( по ( 2.17 ) – ( 2.19 )):

V_A = + sin ₀ = 68 + 20,4 tg ₀ = 74,8 кН ;

V_B = – sin ₀ = – 23 – (–15,6) tg ₀ = –17,8 кН ;

H_A = cos ₀ = 20,4 кН ; H_B = cos ₀ = –15,6 кН.

Проверку полученных значений реакций выполняем с помощью ранее не использованных уравнений равновесия:

– для левой половины ВЧ₁ ( рис. 2.73, а ): H_A∙6 –

– V_A∙3 + q∙6∙3 – M = 122,4 – 224,4 + 162 – 60 = 0;

– для вcей ВЧ₁:  y = 0 (?) V_A +V_B – V_D – q∙6 = 74,8 –17,8 – 3 – 54 = 0.

L

H_L

V_L

h_N

Внутренние силовые факторы в сечениях стержней, образующих трёхшарнирный контур AKL в составе ВЧ₁ , невозможно определить, пока этот контур не «раскрыт», т. е. не найдены силы взаимодействия между элементами в узлах A, K и L . Указанный фрагмент представляет собой трёхшарнирную систему с наклонной затяжкой, роль которой играет незагруженный прямолинейный элемент AK с шарнирами по концам, ра-

б отающий на осевое растяжение-сжатие. При

э

M = 60

N_AK

том L можно рассматривать как ключевой

ш



арнир. Отделив сечением I – I по шарниру L

и

A

стержню AK ( рис. 2.73, а ) нижнюю часть

(

H_A = 20,4

рис. 2.74 ), из условия равновесия

в

V_A = 74,8

ычисляем продольную силу в стержне AK:

N_AK = ( H_A ∙ 5 – M ) / h_N , где h_N = 5 м ∙ sin 3м;

N_AK = 14 кН. Рис. 2.74

V_B

H_B

Далее находим H_L = – 12 кН; V_L = – 86 кН.

B

Реакции опоры главной части ( рис. 2.75 ) отыс-

к

G

H_G

иваются в последнюю очередь: H_G = – H_B ; V_G = V_B ;

M

V_G

Рис. 2.75

72

82,5

31,125

_G = H_B ∙ 2 м.

M_G

0

0

31,125

9

62,4

0

Используя известные из курса сопротивления материалов правила и приёмы определения внутренних силовых факторов в стержнях с прямолинейными и ло-маными осями, строим эпюры изгибающих мо-ментов, поперечных и продольных сил – они показаны на рис. 2.76, причём в пределах ВЧ₂

эпюры – полученные ра-нее ( см. рис. 2.72 ).

Для примера рассмо-трим наиболее сложный

60

M

0

( кН∙м )

31,2

0

20,8

13,28

38,9

3

36

38,9

15,6

27

13,28

12

0

Q

0

( кН )

25,93

20,4

4,11

27

4,43

36

17,8

34,47

N

14

86

( кН )

Рис. 2.76

у

M(x)

q

x

часток KL ( рис. 2.77 ). Усилие N_AK = 14 кН в стержне AK, приложенное на конце участка в точке K, для удобства раскладываем на вертикальную и горизонтальную со-

с

N(x)



тавляющие 14 cos и 14 sin _.

Q(x)



M(x) = – qx ²/2 – 11,2 x – 8,4 x tg _

K

Q(x) = – ( qx + 11,2 ) cos  – 8,4 sin _

8,4

N_AK

11,2

N(x) = ( qx + 11,2 ) sin  – 8,4 cos _ где

 = arctg 1/3; sin  cos 

При x = 0 и x = 3 получаем значения Рис. 2.77

усилий, указанные на рис. 2.76.

L

82,5

82,5

34,47

y

Контроль результатов расчёта осуществляем проверкой рав-новесия узлов и отсечённых частей рамы. Вырезав узел L, прикладываем к нему силовые факторы, «считанные» ( с учётом знаков ) с эпюр M, Q и N ( рис. 2.78, а_,).



x

m_L =

dx

38,9

4,11

82,5 – 82,5 + 60 – 60 = 0;



dy

60

x = 15 + (38,9 + 38,9 ) sin  –

12

38,9

– (4,11 + 34,47) cos  = – 0,0005 0;



60

86

y = 86 – (38,9 + 38,9 ) cos  – а)

20,8

– (4,11 + 34,47) sin  = – 0,008 0.

D

dx

0

20,4

36

Для узла D ( рис. 2.78, б_,):

dy

62,4

 m_L = 62,4 – 62,4 =

3

0;

62,4

15,6

 x = 20,4 + 15,6 – 36 = 0;

17,8

 y = 20,8 – 17,8 – 3 = 0. б)

Аналогично проверяем равнове-

сие и других узлов, включая опорный A. Рис. 2.78

q = 9

F = 30

C

D

J

 m_C= 11,2∙6 + 8,4∙2 + 36 – 60 + + 12∙3 – 86∙3 + q∙6∙3 + 62,4 –

– 17,8∙3 – 30∙6 + 27∙9 – 72 = 0;

 x = 8,4 + 12 + 15,6 – 36 = 0;

 y = – 11,2 + 86 – q∙6 – 17,8 –

– 30 + 27 = 0.

Рассматриваем также некоторую отсечённую часть рамы, например, показанную на рис. 2.79.

15,6

36

L

M = 60

62,4

17,8

72

K

12

27

36

14

86

3 м

3

3

3

3

Для большей надёжности

целесообразно выполнить про-

верку равновесия ещё одной- Рис. 2.79

двух отсечённых частей и рамы в целом.

Определение перемещений от заданной нагрузки

Для отыскания угла поворота узла D рамы и вертикального перемещения точки K применяем метод Максвелла – Мора ( см. п. 1.5 и [1 – 4 ] ). Основным видом деформации всех элементов си-стемы, кроме AK, является изгиб, а стержень AK при заданной на-грузке испытывает чистое растяжение. Поэтому формулу Мак-свелла – Мора ( 1.27 ) используем в сокращённом виде ( без учёта податливости связей, так как все опоры жёсткие; а также сдвигов и продольных деформаций изгибаемых элементов ), принимая во внимание то, что в пределах j-го участка EI(x_j) = const = EI_j :

46_2.3

Переобозначив искомые перемещения _D _1Fи v_K _2F , для их определения дополнительно рассматриваем два вспомогательных единичных ( фиктивных ) состояния рамы:

 с равным 1 моментом в узле D ( рис. 2.80, а );



D

0,5

0,4

с единичной вертикальной силой в точке K ( рис. 2.80, б ).

а)

M₁ = 1

K

0,6

i = 1

M₁

A

N_{AK, 1}

1,5

0,2

F₂ = 1

1,2

б)

K

1,2

i = 2

M₂

A

N_{AK, 2}

0,6

Рис. 2.80

Для определения усилий в единичных состояниях рамы выполняем расчёты по той же схеме, что в случае действия заданной нагрузки ( см. выше ). При этом учитываем, что оба единичных воздействия приложены к части ВЧ₁ ( см. с. 122 ), следовательно, самая второстепенная часть ВЧ₂ не работает. В результате получаем эпюры изгибающих моментов M₁ и M₂ ( рис. 2.80, в, г ) и находим N_{AK, 1} = 1 / 6; N_{AK, 2} = –1 / 2.

Вычисление интегралов в формуле Максвелла – Мора – «пе-ремножение» единичной и «грузовой» эпюр – производим по фор-муле Симпсона ( см. с. 40 ) на участках KL, LC, DG и по правилу Верещагина ( см. с. 39 ) на участке CD ( число участков m_M = 4 ):

92

Знаки «+» у найденных _Dи v_K означают, что каждое из этих перемещений направлено в ту же сторону, что и соответствующее единичное воздействие, т. е. _D – против хода часовой стрел-ки, v_K – вниз.

Ф а к у л ь т а т и в н о:

Формирование системы уравнений статики по конечно-элементной модели

3

4

5

b₆

e₆

q

F

Действуя по алгоритму, изложенному и проиллюстрированному примером в п. 1.3.1 на с. 13 – 18, составляем расчётную схему элементов и узлов рамы, представленную на рис. 2.81.

e₄

Для удобства

с

1

3

4

62

2

e₁

e₃

b₄

b₅

b₇

оставления и конт-

р

b₁

b₂

b₃

q

оля матрицы коэф-

ф

5

72

1

M

ициентов уравне-

н

b₉

e₇

ий равновесия же-

л

2

72

e₅

ательно назначать

н

9

62

b₈

омера рядом рас-

п

8

e₂

e₉

e₈

оложенных узлов и

э

8

9

H_G

H_A

V_P

лементов с мини-

м

M_G

V_A

ально возможной

р

V_G

азницей (эта реко-

м

Рис. 2.81

2

1

галась ранее в отношении ферм – см. с. 76 ).

ендация уже изла-

В вектор искомых силовых факторов (концевых усилий элементов и реакций опор) можно не включать заведомо нулевые изгибающие моменты в сечениях у шарниров; вследствие этого, как указано на с. 18, уравнения третьей группы не составляются. Можно исключить также уравнения равновесия 9-го элемента, так как они в явном виде дают N_b9 = N_e9 ( = N_AB ). Тогда S = [ Q_b1 N_b1 M_e1 Q_e1 N_e1 Q_b2 N_b2 Q_e2 N_e2 M_b3 Q_b3 N_b3 Q_e3 N_e3 Q_b4 N_b4 M_e4 Q_e4 N_e4 M_b5 Q_b5 N_b5 Q_e5 N_e5 Q_b6 N_b6 M_e6 Q_e6 N_e6 M_b7 Q_b7 N_b7 Q_e7 N_e7 Q_b8 N_b8 M_e8 Q_e8 N_e8 N_AB V_A H_A M_G V_G H_G V_P ] ^т – 46 компонентов. Уравнений равновесия 8 элементов (без AK) всего 3∙8 = 24; шарнирных узлов 1, 3, 6, 7, 9 – 2∙5 = 10, жёстких узлов 2, 4, 5 и 8 – 3∙4 = 12, суммарно 46 уравнений – по числу компонентов S.

Матрица коэффициентов A_el первой группы уравнений статики ( 1.3 ):

…

m

x

y

m

x

y

m

x

y

m

x

y

		1	-l1																	1
	-1			1
1			-1
							-5													2
						-1		1
Ael = (24∙40)					1		-1
									-1			-l3								3
											-1		1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .										1		-1
																	-1	-2		8
																-1			1
															1			-1

Здесь l₁ = l₃ = 3 / cos  = 3,1622 м.

…

Матрица коэффициентов второй группы уравнений ( 1.3 ) – для узлов:

x

y

m

x

y

m

x

y

x

y

s 1	c1															0,6						1
-c1	s1															-0,8
		-1							1													2
			-s1	-c1	-1					s3	c3
Au = (22∙46) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			c1	-s1		-1				-c3	s3
													1						1			8
														1							1
															1					1
							1									-0,6		1				9
								1								0,8	1

s₁ = s₃ = sin  = 0,3162; c₁ = c₃ = cos  = 0,9487.

Вектор свободных членов уравнений равновесия элементов ( учёт нагрузки ):

B_{el, F} = [-40,5 -8,537 -25,615 -60 0 0 -40,5 -8,537 -25,615 … -90 0 -30 … -72 0 -36 …] ^т.

Вектор свободных членов уравнений равновесия узлов B_{u, F} = 0, так как узловые нагрузки отсутствуют.

Решение системы ( 1.3 ) даёт значения S, практически совпадающие с вычислен-

ными в основном расчёте.