Построение линий влияния продольных сил в стержнях фермы

Линия влияния N₁

F = 1

Используя статический метод, стремимся свести построе-ние Л.В. к типовым задачам ( см. п. 2.3.1, с. 76 ). Поскольку ферма многодисковая и имеет главную и две второстепенные части ( см. рис. 2.32 ), построение линии влияния начинаем с той части, в ко-торой расположен стержень с искомым усилием ( для N₁ – ГЧ ). Сразу применить типовые Л.В. из представленных на рис. 2.28

н

k

g

s





е удаётся, так как решёт-

I

ка рассчитываемой фермы

1

u

C

1

I

а)

в левой половине ГЧ явля-

е

V_C

тся

A

B

сложной ( двухраскос-

н

F = 1

ой ).

I

t

Поэтому действуем

а

V_A

V_B

налогично

A

B

C

тому, как это

с

h_uB

делано в примере на с. 78 .

h₁

Определяем усилие N₁ б)

т ем же способом совмест-

н ых сечений, что и в рас-

K₁

I

чёте на постоянную нагру-

a = 6 м

b = 3

0,5270

з

l = a + b = 9 м

ку – используем основное

сечение I – I ( рис. 2.39, а )

= 0,5270

0

0

в) при ЕПН

и

19_2.3

дополнительно учитыва-

е

0,2108

г)

0

м N_uB . Не принимая во

внимание особенности уз-

0

л

Л.В. N₁ при ЕПН,

без учёта УПН

овой передачи нагрузки

N₁

0,5270

по нижнему поясу ( они бу-

д

д)

ут учтены в последнюю

о

0,2635

F = 1

чередь ), замечаем, что

N

0,2108

0

_uB = 0 при расположении

г

Л.В. N₁ ( ЕПН с УПН )

руза F = 1 во всех узлах, е)

кроме t и u. Поэтому снача-

л

0,2635

0,2108

0

а строим Л.В. N₁ , игнори-

р

Л.В. N₁

( ЕПВ )

0

0

уя элементы tu и uB ( по

с

0,5270

хеме рис. 2.39, б, где ре- ж)

ш

0,6588

ётка – простая раскосная),

как типовую для стержня

пояса, усилие в котором ра- Рис. 2.39

ционально отыскивается способом моментной точки: между опо-рами A и B линия влияния имеет вид треугольника с вершиной под моментной точкой K₁ ( рис. 2.39, в ); характерная ордината – по рис. 2.28, ж (плечо h₁ = 3,795 м уже определено ранее – см. с. 87).

Далее рассматриваем загружение единичной силой узлов t и u: по схеме рис. 2.36, д при F = 1 имеем N_uB = –1∙ cos  / sin (__= = –1,3416 . Поправка к N₁ за счёт влияния N_uB определяемая из

уравнения моментов , составляет N₁= – N_uB ∙ h_uB / h₁ =

= – (–1,3416) ∙1,3416 / 3,795 = 0,4743 – используем её для получения ординаты Л.В. под узлами t и u ( рис. 2.39, г ). Достраиваем линию влияния в пределах второстепенной части ВЧ₁ , как пря-мую, по двум ординатам – общей на границе ВЧ₁ и ГЧ и равной 0 под опорой С ( при расположении силы F = 1 в опорном узле ни один стержень фермы не работает ). Учитывая узловую передачу нагрузки по нижнему поясу ( рис. 2.39, д ) как описано в п. 1.4.3,

получаем линию влияния усилия N₁ в случае езды понизу ( рис. 2.39, е ).

Линия влияния при езде поверху при расположении под- вижного груза F = 1 во всех узлах, кроме верхнего k ( на сáмой второстепенной части – рис. 2.39, а ) совпадает с представленной на рис. 2.39, г, так как при переносе F = 1 по линии действия с нижнего пояса на верхний не изменяются ни реакции опор, ни уравнения равновесия левой отсечённой части стержня и выделенного узла u. Для определения ординаты Л.В. под узлом k вы-

резаем этот узел и находим N_kg = N_ks = – 0,5 / sin  = – 0,9014 с про-

екциями Y_ks = – 0,5 и X_ks = – 0,75. Далее, действуя так же, как в рас-чёте на постоянную нагрузку, вычисляем опорную реакцию V_C =

= ( 0,5 ∙ 3 + 0,75 ∙ 4 ) / 6 = 0,75, затем из уравнения  m_B = 0 для фермы в целом: V_A = ( 0,75 ∙ 9 – 1 ∙ 3 ) / 9 = 0,4167. Наконец, для левой

части: , откуда N₁ = – 0,4167 ∙ 6 / h₁ = – 0,6588. Линия вли-

яния N₁ при езде поверху приведена на рис. 2.39, ж.

Линия влияния N₂

Построение Л.В. N₂ выполняем в том же порядке, что и Л.В. N₁ . Начинаем с части, которой принадлежит стержень с ис-комым усилием. Условно исключив элементы tu и uB, строим ли-нию влияния при езде понизу, используя схему, представленную на рис. 2.40, а. Разделив ферму сечением II – II, выбираем момент-ную точку K₂ в месте пересечения продолжений осей рассечённых стержней поясов. Вновь применяя правило использования моментной точки для выявления формы линии влияния ( см. с. 77 )

получаем «заготовку» Л.В. N₂ как типовую по рис. 2.28, з – пока-

з

a = 6 м

а)

ана на рис. 2.40, б, где

п

II

k

f

унктиром обозначен

A

C

u

g

s

у

2

e

часток, на котором

н

_

ужно внести по-

п

B

K₂

равку от загру-

t

ж

F = 1

II

r = 6 м

l = 9 м

ения узлов t и u.

h₂ = 12 м

Эту поправ-

к

= 0,8333

у находим из

у

б)

равнения :



0,8333

0,1667

0

0

N₂ = N_uB∙ / h₂ ,

г

0,8333

де N_uB = – 1,3416

(

0,1667

в)

найдено ранее

н

N₂

0

0

а с. 92 );

0,3333

Л.В. N₂ при ЕПН,

без учёта УПН

= 15 м ∙ sin  =

= 6,708 м; N₂ = – 0,75.

Линия влияния усилия

N

F = 1

₂ при езде понизу, без учё-

т

0

0,1667

а узловой передачи нагруз-

к

0,3333

Л.В. N₂ ( ЕПН с УПН )

и, с продолжением на вто- г)

р

0,0833

остепенную часть ВЧ₁ , по-

к

д)

0

0

азана на рис. 2.40, в, а с

у

0,3333

Л.В. N₂

( ЕПВ )

0

0,2083

чётом УПН – на рис. 2.40, г.

Рис. 2.40

При перемещении еди-

ничного груза по верхнему

поясу линия влияния на участках между узлами e и u, а также s и C – такая же, как при езде понизу; между узлами f и g – продолжение влево правой прямой ( с ординатами 0 и 0,1667 ) на рис. 2.40, б; между узлами u и f – соединительная прямая, совпадающая с продолжением правой прямой. Особо нужно рассмотреть загружение силой F = 1 узла k, принадлежащего сáмой второстепенной части ВЧ₂ . Используя значение реакции V_A = 0,4167 от указанного загружения, найденное при построении Л.В. N₁

(

= – 0,2083. Линия влияния N₂ при езде поверху – на рис. 2.40, д.

см. выше ), из уравнения получаем N₂ = – 0,4167 ∙ r / h₂ =

Линия влияния N₃

C

k

g

III

K₃

ГЧ

При перемещении подвижного груза F = 1 по главной части ( рис. 2.41, а ) от левого края фермы до узла g по верхнему поясу и до узла r по нижнему поясу

у силие N₃

s

в стержне второ- а)

с

A

B

r

3

ВЧ₁

тепенной части, выявлен-

н

v

ое сечением III – III, равно 0.

III

F = 1

При движении силы

F

Без УПН

0,375

= 1 по ВЧ₁ линия влияния

N

С УПН

₃ в стержне пояса строится

к

0

0

Л.В. N₃ ( ЕПН )

ак типовая по рис. 2.28, ж: б)

м

0,375

0,5625

ежду точками r и C – тре-

у

0

0

гольная, с вершиной под

м

Л.В. N₃ ( ЕПВ )

оментной точкой K₃ и ну- в)

левыми ординатами под r и

C

Рис. 2.41

, единая при езде поверху

и понизу ( без учёта узловой

передачи нагрузки ), но при ЕПВ она состоит из левой прямой от r до s и соединительной между s и C, а при ЕПН – из правой прямой от v до s и соединительной между r и v. Линия влияния N₃ при езде понизу предcтавлена на рис. 2.41, б. Ординату её вер-шины при грузе F = 1 в узле v ( соответственно V_C = 0,5 ) вычисляем решением уравнения равновесия правой отсечённой части

фермы : N₃ = 0,5 ∙ 3 м / h₃ = 0,375.

Для построения Л.В. N₃ при езде поверху дополнительно рассматриваем положение силы F = 1 в узле k. Вновь используя ранее найденную реакцию V_C = 0,75 ( см. с. 92 ), из того же урав-

нения получаем N₃ = 0,5625 и по четырём ординатам, из

которых две – нулевые, строим линию влияния усилия N₃ при езде поверху ( рис. 2.41, в ).

Определение продольных сил загружением линий влияния.

Расчётные усилия

Используем построенные линии влияния для определения усилий в стержнях фермы от постоянной нагрузки в виде сосредоточенных сил по верхнему поясу фермы ( рис. 2.44, а ), а также максимальных и минимальных значений продольных сил от вре-менных нагрузок – снеговой по верхнему поясу ( учитывается как распределённая по длине горизонтальной проекции фермы, интенсивностью p = p₀ ∙ B₀ = 1,5 кН / м² ∙ 6 м = 9 кН / м ), и крановой в виде двух одинаковых сил давления колес крана по F₀ = F_к / 2 = 10 кН ( по вспомогательным элементам, прикреплённым в узлах нижнего пояса ).

Усилия N₁, N₂ и N₃ от постоянной нагрузки

Используем линии влияния в варианте «езда поверху» и вы-

числяем продольные силы

по формуле N =  F ∙ y_F : а)

N_{1, const} = 36 кН ∙ (0,2108 –

F = 36 кН

F

F

F

F

F /2

F /2

p

– 0,5270 – 0,6588 + 0,2635) =

= – 25,61 кН;

F₀

F₀

N_{2, const} = 36 кН ∙ (– 0,3333 –

–

1,5

0,1667 – 0,2083 + 0,0833) =

=

3

3

3

3

3

3 м

p

p

– 22,50 кН;

N_{3, const} = 36 кН ∙ ( 0,5625 +

+

p

0,375) = 33,75 кН – полное

с

0,2635

0,2108

б)

овпадение со значениями

у

0

Л.В. N₁ ( ЕПВ )

силий, вычисленными ра-

н

0,5270

0,6588

0

0

ее «вручную» и по про-

грамме

p

FERSO.

0,857 м

0,857 м

Усилия от временных

p

нагрузок

0,0833

Л.В. N₂ ( ЕПВ )

в)

Невыгоднейшие поло-

ж

0

0

ения снеговой нагрузки,

к

0,3333

0

0,2083

0,857 м

оторым отвечают макси-

м

p

альные и минимальные

значения продольн

0,375

0,5625

г)

ых сил в

стержнях,

Л.В. N₃ ( ЕПВ )

показаны на

р

0

0

Рис. 2.44

ис. 2.44, б – г.

Экстремальные усилия от снеговой нагрузки определяем как

– по рис. 2.44, б:

N_{1, p, max} = 9 кН / м ∙ (0,2108 ∙ 3,857 м / 2 + 0,2635 ∙ 3,857 м / 2) = 8,23 кН;

N_{1, p, min} = – 9 кН / м ∙ (0,527 ∙ 5,143 м / 2 + 0,6588 ∙ 5,143 м / 2) = –27,44 кН;

– по рис. 2.44, в:

N_{2, p, max} = 9 кН / м ∙ 0,0833 ∙ 3,857 м / 2 = 1,45 кН;

N_{2, p, min} = – 9 кН / м ∙ (0,3333 ∙ 9 м / 2 + 0,2083 ∙ 5,143 м / 2) = –18,32 кН;

– по рис. 2.44, г:

N_{3, p, max} = 9 кН / м ∙ (0,5625 + 0,375) ∙ 3 м = 25,31 кН;

N_{3, p, min} = 0 ( при отсутствии снега на покрытии ).

F₀ = 10 кН

Максимальные и минимальные усилия от крановой нагруз-ки находим с помощью линий влияния при загружении нижнего пояса с учётом узловой передачи нагрузки ( рис. 2.45 ):

N

F₀

_{1, к, max} = 10 кН∙ (0,1976 + 0,2635) = 4,61 кН;

N_{1, к, min} = 0

0,2108

0,2635

0,1976

( при демонтирован-

0

ном кране );

N_{2, к, max} = 10 кН∙ (0,125 +

Л.В. N₁ ( ЕПН с УПН )

0,1667) =

= 2,92 кН;

F₀

F₀

F₀

F₀

N_{2, к, min} = – 10 кН∙ (0,3333 + 0,25) =

= – 5,83 кН;

0

0,1667

0,125

N_{3, к, max} = 10 кН∙ (0,2812 +

Л.В. N₂

( ЕПН с УПН )

0,375 ) =

= 6,56 кН;

0,3333

0,25

N_{3, к, min} = 0.

F₀

F₀

0,375

0,2812

Расчётные значения про-

д

0

ольных сил

Л.В. N₃ ( ЕПН с УПН )

Рис. 2.45

вычисляем в табличной форме:

j (№ стер-жня)	Nj,const	Усилия от временных нагрузок				Расчётные усилия
		Nj, p, max	Nj, p, min	Nj, к, max	Nj, к, min	Nj max	Nj min
1	–25,61	8,23	–27,44	4,61	0	–12,77	–53,05
2	–22,50	1,45	–18,32	2,92	–5,83	–18,13	–46,65
3	33,75	25,31	0	6,56	0	65,62	33,75

2.3.5. Контрольные вопросы по теме 2.3

1. Что такое ферма? (71)

2. Что называется поясами, решёткой фермы? (71)

3. Классификация ферм по типу решётки. (71)

4. Какие решётки ферм относятся к простым, а какие к сложным? (перечислить). (71)

5. Необходимое условие геометрической неизменяемости фермы; формула для W. (72)

6. Структурный анализ ферм. Основной приём синтеза ферм. (72)

7. Особенности загружения и характер работы стержней фермы. (71)

8. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях стержней фермы? (71)

9. Растянуты или сжаты стержни верхнего пояса простой однопролётной фермы при вертикальной нагрузке между опорами, направленной вниз? А стержни нижнего пояса? [1 – 4]

10. Классификация методов и способов определения усилий в стержнях ферм. (72)

11. Частные случаи равновесия узлов фермы. (73)

12. Как можно обнаружить неработающие стержни фермы при заданной нагрузке? (объяснить на примере).

13. Способ моментной точки (способ Риттера) – основной случай (идея способа); особые случаи. (73)

14. Способ проекций; условие его рационального применения. (73)

15. Способ совместных сечений. (74)

16. Какие способы рациональны для определения усилий в стержнях а) пояса фермы с простой решёткой? б) простой решётки фермы с параллельными поясами? (Самостоятельно)

17. Особенности конечно-элементного алгоритма формирования пол-ной системы уравнений статики для фермы. (75)

18. Особенности линий влияния усилий в стержнях ферм. (75)

19. Учёт узловой передачи нагрузки при построении линий влияния усилий в стержнях ферм. (31, 91)

20. Как получаются соединительные прямые на линии влияния усилия в стержне фермы при езде поверху и понизу? (77)

21. Правила построения линии влияния усилия в стержне фермы, определяемого способом

а) вырезания узла; (75) б) моментной точки; (77) в) проекций. (77)

22. Изобразить типовые линии влияния усилий в балочных фермах (76):

– в поясе;

– в раскосе фермы с простой решёткой.

– в раскосе фермы с параллельными поясами и треугольной решёткой;

– в стойке трапецеидальной балочной фермы;

– в стойке треугольной фермы с раскосной решёткой;

– в одиночном стержне трёхстержневого узла частного вида.

23. Основная расчётная формула кинематического метода для построения линий влияния усилий в стержнях ферм. (79)

24. Что такое _N при построении линии влияния усилия в стержне фермы кинематическим методом? (24)

2.4. Расчёт трёхшарнирной арки, статически определимой плоской рамы и комбинированной системы

2 12.3 .4.1. Общие сведения

Трёхшарнирной называется плоская геометрически неизменяемая система, состоящая из трёх дисков, попарно соединённых тремя шарнирами.

Как правило, шарниры в трёхшарнирной системе ( ТШС ) – цилиндрические ( в дальнейшем рассматриваются исключительно

C

B

такие системы ), но могут присутствовать

A

4_2.3

и поступательные шарниры ( рис. 2.46 ) .

C

Рис. 2.46

Три цилиндрических шарнира не должны

2_2.3

располагаться на одной прямой.

D₁

D₂

Различают два основных типа

трёхшарнирных систем: а)



A

B

«земля»@

распорные ( внешне распорные ), в

к

A

B

оторых один из трёх дисков – «зем-

л я» ( рис. 2.47, а ); в таких системах б)

ш арниры A и B, соединяющие два

д

C

иска с «землёй», называются опор-

н ыми ( A и B могут быть верхними

ш

D₁

D₂

A

B

арнирами неподвижных шарнир- в)

н

K

ых опор – рис. 2.47, б ), а шарнир С

м

D₃ – затяжка

G

7_2.3

ежду этими дисками – ключевым;

г

«земля»@

оризонтальная составляющая опор-

н

C

ой реакции при вертикальной на-

г

D₁

D₂

г)

рузке именуется распором;



A

B

затяжка

трёхшарнирные системы с за-

т

11_2.3

яжкой

G

K

( внутренне распорные ) –

рис. 2.47, в; обычно затяжка – прямо-

л

Рис. 2.47

инейный стержень, работающий на

р

D₁

D₂

астяжение ( рис. 2.47, г ); соединённые в один диск три диска D₁ , D₂ и D₃ ( затяжка ) прикрепляются к «земле»

т

а)

ремя связями, как правило, в виде шарнир-

н

б)

ых опор – одной неподвижной и одной по-

д

3_2.3

D₁

D₂

вижной ( рис. 2.47, в, г ).

В зависимости от того, чтó представля-

ю

Рис. 2.48

т собой диски D₁ и D₂ , принято выделять

трёхшарнирные рамы (с прямолинейными

у частками – рис. 2.48, а ) и арки ( диски D₁ и D₂ – криволинейные стержни – рис. 2.48, б ); трёхшарнирной системой может быть также ферма ( рис. 2.25, б ).

ВЧ

33_2.3

Трёхшарнирные арки и рамы

м

а)

огут

ГЧ₁

ГЧ₂

присутствовать в составных

систем ах в качестве главных и вто-

р

б)

остепенных частей ( рис. 2.49 ), а

т

ВЧ

A

акже образовывать некоторые со-

с

ГЧ

тавные диски ( D₁ на рис. 2.49, б,

г

D₁

B

Рис. 2.49

де стержень AB играет роль на-

к лонной затяжки ).

О

6_2.3

пределение реакций связей в трёхшарнирных системах

V_C

H_C

q

F₁

F_n

Для внешне распорной ТШС ( рис. 2.47, а, б ) применение принципа освобождения от связей – четырёх внешних в опорах А и B и двух внутренних

в

C'

C"

ключевом шарнире C –

п

D₁

D₂

V_A

V_C

H_A

H_B

риводит к выявлению

ш

A

B

ести составляющих ре-

а

V_B

Рис. 2.50

кций связей: H_A , V_A , H_B ,

V_B , H_C , V_C ( рис. 2.50 ).

Для двух плоских дисков можно записать суммарно шесть уравнений равновесия – достаточно для отыскания всех реакций.

Максимально просто реакции связей вычисляются по следующему алгоритму ( нагрузка – общего вида в плоскости; взаимное расположение опор – произвольное, т. е. на разных уровнях ):

1) опорные реакции R_A и R_B раскладываются на составля-ющие – вертикальные , и наклонные , вдоль линии, соединяющей опорные шарниры ( рис. 2.51, а );

2) записываются уравнения равновесия всей системы:

 m_A = 0;  m_B = 0;  x = 0; ( 2.13 )

из первого сразу находится вертикальная реакция правой опоры

=  m_{A, F} / l ; из второго – аналогично =  m_{B, F} / l , ( 2.14 )

где  m_{A, F} и  m_{B, F} – соответственно суммы моментов всех нагру-

зок относительно точек A и B. Третье уравнение ( 2.13 ) даёт

= –  F_x / cos ₀ ( 2.15 )

C

C

H_C

q

F_i

F_i

( здесь  F_x – сумма проекций нагрузок на ось x );

B

F₂

F_n

F_n

а) б)

D₂

y

D₂

V_C

f '

F₁

D₁

₀

B

x

A

b

l

Рис. 2.51

3) производится разделение системы на два диска сечением по ключевому шарниру С ( эта операция является обязательной в расчёте трёхшарнирной системы ) и рассматривается равновесие правого или левого диска ( удобнее – с меньшим числом нагрузок ) – рис. 2.51, б:

– из уравнения моментов относительно точки С нахо-дится реакция опоры , ( 2.16 )

где – сумма моментов нагрузок, приложенных к части СВ,

относительно точки С ( положительные моменты – против хода

часовой стрелки );

– два других уравнения  x^CB = 0 и  y^CB = 0 позволяют определить H_C и V_C ;

4) по зависимости ( 2.15 ) вычисляется последняя реакция .

Уравнения равновесия другой ( здесь – левой ) части ТШС могут быть использованы для проверки правильности найденных реакций связей.

От вычисленных , , , можно перейти к ортого-

гональным составляющим опорных реакций ( рис. 2.52 ), более

у

y

C

F₁

F₂

добным для последующих расчётов

внутренних усилий:

D₁

D₂

V_B

V_A

H_B

₀

V_A = + sin ₀ ; ( 2.17 )

x

A

B

V_B = – sin ₀ ; ( 2.18 )

H

H_A

Рис. 2.52

_A = cos ₀ ; H_B = cos ₀ ( 2.19 )

( на схеме ₀ > 0 ).

Ч а с т н ы е с л у ч а и

1. Все нагрузки – вертикальные (  F_x = 0 ): из ( 2.15 ) следует = ( = H – распор ).

B

H_B

q

9_2.3

2. Опоры A и B – на одном уровне ( ₀ = 0 ): в ( 2.14 ) – ( 2.16 ) вместо , , , вводятся V_A , V_B , H_A , H_B ; f ' заменяется на f.

C

B

H_B

Особый случай:

д

C

V_B

ва из трёх шарниров распо-

л

V_B

б)

а)

q

агаются на одной вертикали

(

A

A

H_A

H_A

рис. 2.53, а ) или горизонтали

( рис. 2.53, б ):

ц

V_A

V_A

елесообразно отступить от

в

Рис. 2.53

ышеизложенного алгоритма

и, используя ортогональные

составляющие опорных реак-

ций, начинать их определение с уравнения равновесия той части, которой принадлежат упомянутые пары шарниров. Для трёхшарнир-

ной рамы, изображённой на рис. 2.53, а: ; для системы

н

10_2.3

а рис. 2.53, б: . Остальные три реакции находятся из условий равновесия системы целом – для левой рамы , для правой – , далее  x = 0 и  y = 0.

y

Для ТШС с затяжкой ( рис. 2.47, в, г ) в первую очередь определяются реакции трёх внешних связей ( ,

B

q

), затем из урав-

н

A

₀

ений равновесия затяжки

x

отыскиваются

, ( рис. 2.54 ) и зависимость ме-

жду и .

Рис. 2.54

Реакция или на-

ходится тем же приёмом, что и в рас-

чёте внешне распорной ТШС ( см. выше ) – из рассмотрения одного из дисков D₁ или D₂ ; при этом вместе с нагрузками учитываются уже найденные реакции опор G или K.

2) если нагрузка на затяжке отсутствует, то

12_2.3

Частные случаи: 1) при вертикальной нагрузке на затяжке

В

13_2.3

нутренние силовые факторы в трёхшарнирных системах

C

F

В поперечном сечении стержневого диска трёхшарнирной системы при заданных нагрузках возникают изгибающий момент, поперечная и продольная силы ( рис. 2.55 ).

П

V_B

q

ри произвольной нагрузке

у

B

H_B

V_A

силия M, N и Q отыскивают-

с

A

H_A

N

M

я по правилам сопротивления

м

q

атериалов – из условий рав-

н

A

Q

16_2.3

овесия отсечённой части.

V_A

H_A

В случае действия только

в

Рис. 2.55

ертикальных нагрузок для

в ычисления «вручную» сило-

в

y

C

q

F₂

ых факторов в произвольном сечении трёхшарнирной арки или рамы с опорами на одном уровне ( рис. 2.56, а ) удобно использовать специальные формулы,

в

(x)

x

F₃

ыражающие искомые усилия а)

в

V_A

V_B

y(x)

F₁

f

ТШС через изгибающие мо-

м

A

B

(x)

енты и поперечные силы в

ш

x

H

H

l

арнирно опёртой по концам

б алке того же пролёта и при

действии такой же нагрузки,

V_{0, A}

V_{0, B}

q

ч

A₀

C₀

F₁

F₂

F₃

то и рассчитываемая ТШС б)

(

B₀

x

рис. 2.56, б ), а также через

р

l

аспор H арки (рамы) и гео-

м

M₀

етрические параметры сече-

н ия ТШС – координаты x и y(x) в)

е

M_{0, C}

M₀ (x)

го центра тяжести и угол на-

к

Q₀

Q₀ (x)

лона  (x) сечения к вертика-

л и ( или такой же угол между г)

к

Рис. 2.56

асательной к оси стержня и

горизонтальной осью x ):

M (x) = M₀ (x) – H ∙ y (x); ( 2.20 )

Q (x) = Q₀ (x) ∙ cos  (x) – H ∙ sin  (x); ( 2.21 )

N (x) = – [ Q₀ (x) ∙ sin  (x) + H ∙ cos  (x) ], ( 2.22 )

где M (x), Q (x), N (x) – усилия в сечении арки (рамы) с абсциссой x;

M₀ (x) и Q₀ (x) – балочные изгибающий момент и поперечная

14_2.3

сила в сечении с координатой x (рис. 2.56, в, г).

C

F₁

F₂

x

Зависимость ( 2.20 ) не только облегчает вычисление изгибающего момента в любом сечении

Т

A

B

H

H

y(x)

f

17_2.3

ШС, но и позволяет предсказывать

в ид всей эпюры M ( пример – на рис.

2

M₀

–H∙y(x)

.57, где, как и везде далее, эпюра

п

M_{0, C}

остроена не на оси арки, а на её го-

р изонтал ьной проекции ). Заметим,

что, во-первых, из условия M_C = 0

р

8_2.3

аспор определяется как

15_2.3

H = M_{0, C} / f , ( 2.23 )

а

0

0

0

M

19_2.3

во-вторых, из-за криволинейности

оси арки изгибающие моменты в ней

и

Рис. 2.57

зменяются по длине нелинейно да-

же при отсутствии распределённых

н

M + dM

ds

18_2.3

агрузок. Нелинейными, согласно ( 2.21 ) и ( 2.22 ), должны быть также и эпюры Q и N в арке. При построении и проверке эпюр внутренних силовых факторов на криволинейных участках трёх-шарнирных систем ( в частности, в арках ), полезно учитывать дифференциальные уравнения равновесия ( рис. 2.58 )

Q

N + dN

q_t

, ( 2.24 )

и

M

Q + dQ

q_n

з которых первое аналогично ( 1.13 ) для

п

N

20_2.3

рямолинейного стержня, а из двух других

д

d

остаточно просто использовать послед-

н

r

ее: на участке без распределённой нагру-

зки ( q_t = 0 ), в точке, где Q = 0, N – экстре-

м альная.

Рис. 2.58

Заметим, что из ( 2.24 ) при r = по-

л

n

учаются уравнения ( 1.12 ) – ( 1.14 ) для

п

t

F

F_n

F_t

рямого стержня, практическое примене-

н

21_2.3

ие которых описано в форме рекоменда-

ц ий и правил на с. 19 – 21. Изложенные там

у

Q

N

казания относительно особенностей эпюр

(

F_n

изломов и скачков ) в точках приложения

с осредоточенных сил и моментов имеют

с илу как для прямых, так и для криволи-

н

F_t

ейных стержней – на эпюре Q от силы F,

н

Рис. 2.59

чок на проекцию F_n , на эпюре N – на F_t .

аклонной к оси стержня ( рис. 2.59 ) – ска-

Описания характера эпюр ( прямые, кривые ), приведённые в табл. 1.1, относятся только к прямым стержням, для арок они недействительны.

Определение усилий в трёхшарнирных системах на базе об-щего конечно-элементного подхода осуществляется по алгорит-му, изложенному в п. 1.3.1; для рам – как в примере, приведённом на с. 13 – 18; для арки ( рис. 2.60, а ) – по расчётной схеме, показанной на рис. 2.60, б, где заведомо равные нулю моменты в концевых сечениях двух элементов-полуарок у шарнирных узлов не обозначены, и в вектор искомых силовых факторов они не включаются:

S = [ Q_b1 N_b1 Q_e1 N_e1 Q_b2 N_b2 Q_e2 N_e2 V_A H_A V_B H_B ] ^т ( n_S = 12 ).

вершина арки

F₂

y

C

F₁

q

Примечание: ключевой

шарнир обычно назначают

в вершине арки для уменьшения распора.

8_2.3

F₃

M₁

B

y_C

y_B

₀

_l

а)

A

x

b

a

x₁

b

C

F₂

M₁

q

x₂

e₁

Q_e1

Q_e2

N_e2

F₁

F₃

e₂

N_e1

y_C – y_B

1

2

Q_e2

2

Q_e1

б)

y₁

_l

y_C

b₂

Q_b2

₀

Q_b1

N_b2

a

b₁

Q_b2

N_b1

3

y₂

V_B

H_B

Q_b1

1

V_A

H_A

Рис. 2.60

Полная система уравнений A∙S + B_F = 0 формируется из условий равновесия двух элементов

( 2.25 )

и трёх узлов: ( 2.26 )

Уравнения третьей группы ( см. с. 18 ) не записываются, так как равенство нулю моментов в концевых сечениях у шарниров уже учтено при составлении вектора S. Раскрывая ( 2.25 ) и ( 2.26 ),

получаем матрицу коэффициентов

m

x

y

m

x

y

x

y

x

y

x

y

 =

2

1

Q_b1 N_b1 Q_e1 N_e1 Q_b2 N_b2 Q_e2 N_e2 V_A H_A V_B H_B

		– a	– yC
	– 1	-sin 0	cos 0
1		-cos 0	-sin 0
						– b	yC – yB
					– 1	sin l	cos l
				1		-cos l	sin l
sin 0	cos 0								1
-sin 0	sin 0							1
			– 1				1
		1				– 1
				sin l	-cos l						–1
				cos l	sin l					1

и

1

2

3

вектор свободных членов уравнений ( от нагрузки ):

B_F =[ ] ^т,

2

1

1

2

3

где – суммы моментов нагрузок, приложенных к

1-му и 2-му элементам-полуаркам, относительно точек b₁ и b₂ ;

– суммы проекций внеузловых на-

грузок на собственные оси x₁, y₁, x₂, y₂ элементов 1 и 2;

F_2x , F_2y – проекции нагрузки в узле 2 на глобальные оси x и y.

Линии влияния силовых факторов в трёхшарнирных системах

Линии влияния опорных реакций и внутренних усилий в некотором сечении внешне распорной ТШС являются типовыми^*) вследствие единообразия структуры ( при наличии только цилинд-рических шарниров ). Для системы с опорами на одном уровне (рис. 2.61, а) типовые Л.В. получаются из следующих соображений:

 линии влияния вертикальных составляющих V_A и V_B реакций опор арки совпадают с соответствующими Л.В. опорных реакций простой балки ( рис. 2.7, между точками A и B );

 линия влияния распора Н имеет вид треугольника с вершиной под ключевым шарниром С ( рис. 2.61, б ); ордината находится из ( 2.23 ) при грузе F = 1, расположенном в С ( на балке – в С₀ );

^*) Для внутренне распорных ТШС с затяжкой также существуют анало-

гичные типовые Л.В.

 линии влияния изгибающего момента, поперечной и продольной сил в сечении K с абсциссой x_K , ординатой y_K и углом наклона __K получаются статически на основании выражений ( 2.20 ) – ( 2.22 ) при x = x_K , y (x) = y (x_K) y_K ,  (x) =  (x_K) _K :

Л.В. M_K = Л.В. M_{0, K} – y_K ∙ Л.В. H ; ( 2.27 )

Л.В. Q_K = cos _K ∙ Л.В. Q_{0, K} – sin _K ∙ Л.В. H; ( 2.28 )

Л

y

.В. N_K = – [ sin _K ∙ Л.В. Q_{0, K} + cos _K ∙ Л.В. H ], ( 2.29 )

г

F = 1

x_K

C

а)

де Л.В. M_{0, K} и Л.В. Q_{0, K}

д

A

V_A

_K

ля сечения балки с ко-

о

V_B

f

K

рдинатой x = x_K – типо-

в

B

y_K

ые Л.В. M₁ и Л.В. Q₁ по

рис. 2.7

x

H

H

с заменой a и b

с

a

b

оответственно на x_K и

l

l

– x_K .

a ∙ b / ( f ∙ l )

Характерные орди-

н

29_2.3

аты типовых линий б)

в

Л.В. H

лияния на рис. 2.61:

Л.В. M_K

в)

г)

30_2.3

Л.В. Q_K

Параллельно

31_2.3

Л.В. N_K

д)

Параллельно

F = 1

y

е)

Указанные ордина-

т

x_K

_K

C

ы можно находить пря-

м

K

ым вычислением сило-

в

y_K

f

ых факторов в ТШС

п

x

A

B

ри двух положениях

п

a

b

одвижного груза F = 1 –

н

l

ад сечением K и в шар-

н ире С.

Линии влияния ре- Рис. 2.61

а

A

Параллельно

K_N

кций и усилий в трёхшарнирной раме – такие же, как для арки. Например, если рама на рис. 2.61, е имеет такие же размеры l, a, b и f , что и арка ( рис. 2.61, а ), то в случае совпадения параметров x_K , y_K и _K сечения K рамы и арки линии влияния M_K, Q_K и N_K – одинаковые для обеих ТШС.

t

Примечания: 1. Для контроля положения

н

n

K_M

улевых точек средних прямых линий влияния

у

K_Q

силий в сечении K можно использовать мо-

м

K

C

ентные точки, нахождение которых показано

на рис. 2.62 ( их статический смысл подробно

о

Параллельно

бъяснён, в частности, в [ 2 ] ). Нулевые точки

л

B

Рис. 2.62

иний влияния M_K , Q_K и N_K располагаются

соответственно под моментными точками K_M ,

K_Q и K_N . Графические построения для отыска-

ния указанных точек, конечно, следует выполнять со строгим соблюдением масштаба.

34_2.3

2. Модели линий влияния силовых факторов в ТШС можно получать кинематическим методом ( см. [ 4 ] ). Заметим, что в этом случае мгновенные центры вращения диска KC при построении линий влияния M_K , Q_K и N_K совпадают с моментными точками K_M , K_Q и K_N .

Комбинированной называется геометрически неизменя-емая система, состоящая из различных по характеру своей работы частей, совместно участвующих в восприятии задан-ных воздействий.

35_2.3

В состав комбинированной системы ( КС ) могут входить части в виде балок, рам, арок, ферм и отдельных стержней с прямыми, кривыми или ломаными осями. Внутренние усилия в любом из фрагментов КС определяются известными приёмами для системы или элемента соответствующего типа, поэтому основной задачей расчёта КС является определение реакций опор и внутренних связей между её частями.

Ш 3

Ш 5

A

B

G

K

Если при выполнении структурного ( качественного ) анализа удаётся представить образование комбинированной системы с помощью типовых способов соединения дисков ( см. п. 1.1 ), то это – комбинированная система с простой структурой. Её расчёт выполняется в порядке,

о

Ш 1

Ш 2

C

Ф

братном последовательно-

с

a

b

ти синтеза системы.

Наприм

Ш 6

Ш 4

ер, образование

КС, изображённой на рис. 2.63,

выполняется последовательны- Рис. 2.63

ми шагами: Ш 1, Ш 2, Ш 3 – создание дисков; Ш 4 – прикрепление укрупнённого диска к «земле» ( получается главная часть системы ); Ш 5 – об-разование диска Ф (при узловых нагрузках – фермы); Ш 6 – соединение диска Ф с главной частью и «землёй» ( возникает второстепенная часть ).

Расчёт комбинированной системы рационально выполнять в следующем порядке: расчётный шаг РШ 1 Ш 6 – определение реакций связей второстепенной части (опоры K и шарнира G ) и вычисление уси-лий в ней ( РШ 2 Ш 5 ); третий шаг – РШ 3 Ш 4 – нахождение реакций опор A и B главной части; РШ 4 Ш 3 – разделение главной части по шарниру C и связи ab с определением их реакций; РШ 5 Ш 2 и РШ 6 Ш 1 – вырезание узлов a и b, вычисление продольных сил в вер-тикальных и наклонных стержнях. Далее – расчёт внутренних усилий в балочных элементах AC и CG главной части.

Комбинированные системы со сложной структурой, образование которых не сводится к последовательному применению типовых способов соединения дисков, в данных методических указаниях не рассматриваются ( об этом классе КС см. в [ 1 – 5 ] ).