1.3.3. Понятие об энергетическом методе

В основе метода – использование экстремальных свойств полной энергии деформируемой системы. В частности, силовые факторы в линейно деформируемых системах могут определяться по теореме Лагранжа через потенциальную энергию упругой деформации U:

S = dU/d_S , ( 1.20 )

где _S – перемещение по направлению силового фактора S.

Являясь наиболее универсальным средством решения теоретических задач механики, энергетический метод неоправданно сложен и трудоёмок для применения в практических расчётах, поэтому далее в приложении к СОС не рассматривается.

1.4. Расчёты на временные нагрузки с помощью л 57 иний влияния

58

Временными воздействиями ( нагрузками ) называются такие, действие которых на сооружение ( конструкцию ) ограничено во времени.

Одним из видов временных воздействий являются подвижные нагрузки, место и/или область приложения которых на сооружении ( конструкции ) изменяются.

В дальнейшем рассматриваются только квазистатические ( медленно изменяющиеся во времени ) нагрузки.

1 58 .4.1. Задачи расчёта на действие временных нагрузок

59

Главной задачей является определение невыгоднейших ( на-зываемых также опасными ) положений подвижных и других вре-менных нагрузок ( снеговой, от веса оборудования, людей и др. ), при которых искомый силовой фактор S – реакция опоры или вну-треннее усилие – принимает экстремальные ( максимальное S_max и минимальное S_min ) значения.

81

В практических расчётах сооружений нужно учитывать не-сколько ( возможно, достаточно много ) временных воздействий.

П ри этом экстремальные значения S_max и S_min , называемые расчётными значениями величины S, находятся от сов-местного действия постоянной нагрузки ( собственного веса конструкций ) и временных, каждая из которых занимает соответствующее опасное положение на сооружении:

, ( 1.21 )

где S_const , S_{temp, max} , S_{temp, min} – значения силового фактора S соот-

ветственно от постоянной нагрузки и некоторой временной

при двух опасных положениях последней ( в загружениях на

максимум и минимум S ); суммирование выполняется по всем

временным нагрузкам.

Теоретически для отыскания S_{temp, max} и S_{temp, min} требуется выявление функции S_temp ({x}) ( здесь {x} = { x₁, x₂, …, x_nt } – вектор координат, характеризующих положение временной нагрузки ), с последующим исследованием её на экстремум по условию

dS_temp ({x}) / d{x} = 0. ( 1.22 )

Для даже не очень сложных систем этот путь оказывается весьма трудоёмким, особенно с учётом того, что S_temp ({x}) является, как правило, многоэкстремальной функцией, к тому же не гладкой.

Другой способ – многократные вычисления S_temp({x}) при варьировании координат {x} с достаточно малыми шагами x_i и выбор наибольшего и наименьшего из полученных значений функции. Использование современных вычислительных средств делает это принципиально возможным, но число вариантов расчёта может быть очень большим, с высокой трудоёмкостью ввода исходных данных. В этом случае полезным является предварительное определение опасных положений временных нагрузок (точное или хотя бы приближённое) – тогда число перерасчётов удаётся радикально уменьшить. Для решения этой задачи ( как отмечено выше – главной в расчёте на временные воздействия ) служат особые вспомогательные функции и их графики, называемые соответственно функциями и линиями влияния ( идея предложена E. Winkler’ом в 1867 г.).

1

60

.4.2. Линии влияния силовых факторов, методы их построения

61

62

Линией влияния некоторого фактора напряжённо-де-формированного состояния системы ( в частности, силового фактора ) называется график функции, выражающей зависимость данного фактора от координат(ы) точки приложения одиночной единичной безразмерной подвижной силы ( груза F = 1 ), сохраняющей неизменное направление линии действия при перемещении по сооружению ( конструкции ).

Наибольшее применение имеют функции и линии влияния силовых факторов; возможно также – перемещений, напряжений.

63

Между линией влияния ( Л.В. ) некоторого усилия S и его эпюрой нет ничего общего – убедительным доказательством этого является то, что линии влияния могут строиться не только для внутренних силовых факторов ( усилий в сечениях ), но и для внешних ( реакций опор ), а эпюры – только для внутренних усилий. Принципиальные различия между линией влияния и эпюрой описаны в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Признаки различия	С о д е р ж а н и е
	Линия влияния	Э п ю р а
О 62 т какой н агрузки строится	От условной одиноч-ной подвижной нагрузки, равной безразмерной единице ( F = 1 )	От реальной неподвижной нагрузки – возможно многокомпонентной, опреде-лённым образом располо-женной на сооружении
Что пока- зывает в целом	Значения исследуемого фактора при разных положениях единичного подвиж-ного груза F = 1	Значения исследуемого фактора в разных точках*) или сечениях системы при фиксированной нагрузке
64 С мысл произволь- ной орди- наты	Значение исследуемого фактора при расположении единичного груза F = 1 в том месте, где читается ордината	Окончание табл. 1.3 Значение исследуемого фактора в том месте*), сечении, где читается ордината
65 Что позво- ляет опре- делить	Невыгоднейшие (опасные) положения реальных подвижных и других временных нагрузок и соответствую-щие экстремальные значения исследуемого фактора	Опасные точки*), сечения системы и экстремальные значения исследуемого фактора в них при фиксированной нагрузке

^*) Для перемещений, напряжений.

Отыскание функций влияния силовых факторов в статически определимых системах и построение их графиков ( линий влияния ) возможно статическим и кинематическим методами.

С

66

татический метод построения линии влияния

 Общий принцип:

использование уравнений равновесия частей системы для определения зависимости cилового фактора S, линия влияния которого строится, от координат(ы) точки приложения единичного подвижного груза F = 1.

 Алгоритм

1. Намечаются характерные положения единичного подвижного груза F = 1 ( по участкам; признаки границ участков см. ниже ).

2. Для каждого характерного положения единичного груза, точка приложения которого задаётся координатой х на выбранном «маршруте движения» ( в пространственной системе – координатами x, y, z ), из уравнений равновесия выявляется выражение функции влияния S (x) или S (x, y, z).

3. Строится линия влияния как график функции влияния – по участкам, соответствующим характерным положениям груза F = 1.



67

Признаки границ участков характерных положений единичного подвижного груза

1. Границы дисков системы, узлы.

2. Сечение с внутренним силовым фактором, линия влияния которого строится.



68

Примечания

1. В статически определимой системе линии влияния силовых факторов – кусочно-линейные ( это следует из ( 1.7 ) при F_yj = 1 и замене a_{F j} на x_j.), поэтому возможно задание двух рационально выбираемых точек приложения единичного груза в пределах участка, с последующим построением отрезка прямой по двум ординатам.

2. В плоских ( двухмерных ) системах осуществляется загру-

гружение единичными подвижными грузами F_x = 1 и F_y = 1; в

пространственных – также F_z = 1 .

Для большинства плоских СОС построение «вручную» линий влияния усилий и опорных реакций может быть выполнено с помощью типовых линий влияния для простейших систем. При этом число положений единичного груза минимизируется, если учитывать следующее:

F = 1

1) легко обнаруживаются такие положения груза, при которых искомое усилие равно нулю ( например, если груз находится в опорном узле, на главной части при определении усилия во второстепенной части ) – это даёт нулевые ординаты Л.В.;

2) при перемещениях груза F = 1 на

б есконечно малые расстояния в разные

с

dx

тороны от цилиндрического шарнира рас-

пределение силовых факторов в системе

н

Л.В. S

е изменяется, вследствие чего на границе

с оседних участков Л.В. в месте располо-

жения такого шарнира получаются одина-

ковые ординаты ( рис. 1.19 ). Рис. 1.19

Возможно применение общего алгоритма конечно-элемент-ного подхода ( см. с. 12 ) – при этом в качестве нагрузки рассматривается единичный подвижный груз, последовательно располагаемый в узлах. Тогда в уравнениях ( 1.2 ) B_F – матрица, имеющая столько столбцов, сколько назначено положений единичного груза ( в общем случае – F_x = 1, F_y = 1, F_z = 1 ), причем, ввиду от-

сутствия внеузловых нагрузок, B_el,F = 0. В результате решения полной системы уравнений по ( 1.12 ) находится матрица S всех концевых усилий и опорных реакций при загружениях единичным подвижным грузом последовательно всех узлов. Некоторая строка матрицы состоит из значений функции влияния соответствующего силового фактора ( ординат его линии влияния ) по концам элементов системы. Полученная таким способом матрица S называется полной матрицей влияния силовых факторов и обозначается L_S или _S .

К

69

инематический метод построения линии влияния

 Основная формула:

п олучается из ( 1.19 ), если F – единичная подвижная нагрузка с координатой х точки приложения ( при этом перемещение _F – функция от аргумента х : _F = _F (x)):

( 1.23 )

70

( напомним, что в случае статически определимой системы выполнение условия W_int = 0 обеспечивается использованием принципа отвердевания ).

 Очертание линии влияния:

с

71

точностью до неопределённого множителя – 1/_S линия влияния силового фактора S в СО системе подобна эпюре возможных перемещений _F (x) системы с удалённой связью – механизма, диски которого рассматриваются как недеформируемые.

 Алгоритм

Примечание: Перемещение желательно задавать так, чтобы возможная работа си-лового фактора S оказалась положительной ( _S > 0 ).

1. В системе, находящейся в равновесии при произвольно расположенной единичной подвижной нагрузке F = 1, удаляется связь, линию влияния реакции которой S требуется построить; взамен удалённой связи прикладывается её реакция S.

2. Системе с удалённой связью

задается возможное ( виртуальное)

перемещение и выявляется переме-

щение _S .

3. Строится эпюра возможных перемещений _F (x) с определением

а) ординат, выражаемых через характерное перемещение _S ;

груз F = 1 ).

б) знаков ( по знаку перемещения _F в месте, где обозначен

^*) В арифметическом смысле операция де-ления на _S с его сокращением тождествен-на заданию _S = 1, но это противоречит сущ-ности виртуального (бесконечно малого) пе-ремещения, что особенно очевидно в случае, когда _S – линейное ( не безразмерное ).

4. По основной формуле ( 1.23 ) определяются ординаты ис-комой линии влияния – путём деления ординат эпюры _F (x) на неопределённый параметр _S^*),

в результате чего параметр _S

сокращается. Строится Л.В. S,

подобная эпюре _F (x).

5. Уточняются знаки линии влияния S – по фактическим знакам _S и _F (x).

Для некоторых систем (балок, арок) в «ручных» расчётах кинематический метод может быть привлекательным, позволяя быстро выявлять общее очертание ( модель ) линии влияния силового фактора, причем характерные ординаты графика ( одну или несколько ) можно затем находить статически, рационально объединяя таким образом достоинства обоих методов.

Заметим, что сами по себе значения ординат могут и не представлять интереса ( важны их отношения ), так как главное назначение линий влияния – определение опасных положений временных нагрузок на сооружении для последующего расчёта на их действие, возможно автоматизированного. Тем не менее, если ординаты линии влияния известны, то с её помощью можно вычислять значения величины S от разных нагрузок – временных ( в том числе подвижных ) и постоянной.