1 51 .3.2. Кинематический метод

Основан на принципе возможных перемещений ( принципе Лагранжа, J.L. Lagrange, 1788 ):

е сли механическая система находится в равновесии, то сумма работ внешних сил, приложенных к системе, и соответствующих им внутренних сил на возможных перемещениях равна нулю:

W

52

_ext + W_int = 0. ( 1.17 )

Возможные ( виртуальные ) перемещения должны быть

^*) ЛДС – это физически, геометрически и конст-руктивно линейные системы, материал которых подчиняется закону Гука ( т. е. линейной упругости ); перемещения малы; возможен расчёт «по недеформированной схеме».

а) бесконечно малыми ( для линейно деформируемых систем^*) ( ЛДС ) – конечными,

но малыми в сравнении с

размерами системы и её

элементов );

б) не противоречащими условиям совместности деформаций ( перемещений ) и кинематическим граничным условиям ( условиям закрепления );

в) отсчитываемыми от исследуемого положения равновесия.

53

Для определения реакции S некоторой связи ( принципиальная схема представлена на рис. 1.17, где осуществлено обязательное для кинематического метода освобождение от связи ) уравнение ( 1.17 ) даёт формулу [ 1 – 4 ]

54

( 1.18 )

Виртуальные

перемещения

(увеличены)

б)

а)

F

A'

_S

F

B

A

A

B

Действительное

деформированное

(равновесное)

состояние

B'

_F

Рис. 1.17

( 1.19 )

При задании возможных перемещений особым (единственным) способом, который в общей постановке здесь не раскрывается, удаётся получить равной 0 возможную работу внутренних сил W_int , тогда формула ( 1.18 ) упрощается:

55

Для статически определимых систем выполнение условия W_int = 0 можно обеспечить применением принципа отвердевания к механизму с одной степенью свободы, в который превращается рассматриваемая геометрически неизменяемая система в результате удаления необходимой связи ( в СОС все связи – необхо-димые), реакцией которой является искомый силовой фактор S.

Общий алгоритм определения силового фактора кинематическим методом:

1. В системе, находящейся в равновесном деформированном состоянии при заданной нагрузке, удаляется связь, реакцию которой S требуется определить. Взамен удалённой связи прикладывается её реакция S, обеспечивающая сохранение неизменным состояния равновесия системы.

2. Системе с удалённой связью, находящейся по-прежнему в равновесном деформированном состоянии при действующей нагрузке и реакции S, задаётся возможное ( виртуальное ) перемещение.

3. Находятся, с точностью до общего неопределённого мно-жителя ₀ , перемещения _F и _S – соответственно по направлениям заданной нагрузки F и искомой реакции S ( целесообразно принимать ₀ = _S ). Замечание: F следует понимать как обобщённую нагрузку.

56

4. По формуле ( 1.18 ) или ( 1.19 ) вычисляется искомый силовой фактор S.

M

Q

24_2.3

Если определяется внутреннее усилие ( M, Q или N ) в некотором сечении, то, согласно п. 1 алгоритма, удаляется соответст-вующая внутренняя связь – угловая либо линейная ( см. рис. 1.8 ), в результате чего в точке расположения сечения появляется шар-нир соответствующего типа – цилиндрический или поступательный ( рис. 1.18, б, в, г ); при этом _S приобретает смысл _M , _Q или _N ( рис. 1.18, д, е, ж ) – взаимных ( относительных ) угловых и линейных перемещений торцов частей стержня, разделённого сечением.

N

N

а) б) в) г)

Q

_N

M

_M

Q

N

_Q

N

д) е)

Q

ж)

Рис. 1.18

Для определения виртуальных перемещений механизма, получаемого из СОС, можно использовать мгновенные центры вращения его дисков или план перемещений узлов ( аналог плана скоростей ). При этом учитываются индивидуальные структурно-геометрические особенности рассчитываемой системы, в силу чего процесс вычисления силовых факторов кинематическим методом плохо формализуется и не поддаётся единому программному описанию для автоматизированных компьютерных расчётов. Поэтому в качестве аппарата решения практических задач определения опорных реакций и внутренних усилий в сооружениях и конструкциях кинематический метод в настоящее время утратил актуальность, но сохраняет значение как теоретическая основа ряда разделов строительной механики, таких как теория определения перемещений, классические методы расчёта деформируемых систем и др.