2.3.4. Пример выполнения расчёта

статически определимой фермы

Расчётная схема ( рис. 2.31 ) и исходные данные

Требуется выполнить расчёт фермы согласно содержанию задания ( см. с. 80 ) при следующих исходных данных:

a

a

a

a

a

a

a = 3 м

h / 2

h = 4 м

h / 2

1

2

h / 2

3

Шаг ферм

в плане

B₀ = 6 м

F_к

Крановая нагрузка F_к = 20 кН

a/4

a/4

Рис. 2.31

Интенсивности равномерно распределённых нагрузок по верху фермы:

 от веса покрытия ( постоянная ) q₀ = 2 кН/м² ;

 снеговая ( временная ) p₀ = 1,5 кН/м² .

Кинематический анализ расчётной схемы

а) проверка выполнения необходимого условия геометрической неизменяемости ( 1.1 ) – количественный анализ: стержни плоской фермы (их 22) шарнирно соединены в 13 узлах, три опо-ры фермы в сумме дают 4 внешних связи ( рис. 2.31 ), т. е. Y = 13, C = 22, C₀ = 4, тогда по ( 2.8 ): W = 2Y – C – C₀ = 2∙13 – 22 – 4 = 0 – условие ( 1.1 ) выполнено, следовательно, система может быть геометрически неизменяемой;

ВЧ₂

б) структурный анализ расчётной схемы:

в системе 4 внешних связи,

f

g

k

s

ВЧ₁

с

C

ГЧ

ледовательно, при W = 0

ф

e

ерма не может представ-

л

D₁

D₂

ять собой единый диск,

п

B

A

r

v

оэтому путём последова-

т

«з е м л я»

ельного образования шар-

н

Рис. 2.32

ирных треугольников, на-

чиная с Bfg, создаём снача-

ла диск D₁ ( рис. 2.32 ), который сразу прикрепляем к «земле» тре-мя связями – шарнирными опорами A и B ( получается геометрически неизменяемая система ); затем с помощью шарниров объединяем стержни rs, sv, vr, sC и Cv в диск D₂ , соединяемый шарниром r и линейной связью С c уже созданной ГНС; в последнюю очередь двумя связями добавляем точку k . Все связи наложены с соблюдением требований к ним ( см. рис. 1.2 и [ 5 ] ).

Вывод: ферма является геометрически неизменяемой систе-мой, причём пошаговая процедура её синтеза с образованием ГНС на каждом шаге свидетельствует о том, что получена составная система с одной главной и двумя второстепенными частями ( рис. 2.32 ).

Расчёт фермы на действие постоянной нагрузки

Нагрузка от собственного веса конструкций q₀ считается, по заданию, равномерно распределённой по горизонтальной про-екции покрытия. Через систему вспомогательных элементов –панелей и прогонов ( рис. 2.33 ) – она передаётся в узлы верхнего пояса фермы. Погонная нагрузка, воспринимаемая прогоном cd от опирающихся на него панелей, равна q_п = q₀ ∙ a. В точках c и d прогон оказывает давление на узлы фермы силами по q_п ∙ B₀ /2. Поскольку на узел с фермы опираются два прогона, то суммарная со-средоточенная нагрузка в любом внутреннем узле F = 2∙ q_п ∙ B₀ /2 = = q₀ ∙ a ∙ B₀ . При расстоянии между соседними фермами в плане

B₀ = 6 м узловые нагрузки F = 2 кН/м² ∙ 3 м ∙ 6 м = 36 кН.

В крайних узлах – силы по F/2.

Схема фермы с узловой посто-

q₀

янной нагрузкой приведена на рис.

2 .34.

П р о г о н ы

Для определения усилий ( про-

д ольных сил ) в стержнях фермы

н

F

F/2

ужно сначала найти опорные ре-

а

c

кции. Из условия равновесия всей

ф ермы _x = 0 H_A = 0. Уравнение



d

_m_A = 0 даёт: V_B ∙ 9 м + V_C ∙ 18 м =

= F ∙ (3 + 6 + 9 +12 +15) м + (F/2) ∙18 м,

a

П а н е л и

о ткуда V_B = 6F – 2V_C . Для отыскания

реакции V_C второстепенной части Рис. 2.33

F = 36 кН

y

1

2

3

F

F

F

F/2

k

F

C

g

s

F/2 = 18 кН

A

H_A

V_C

B

x

3

3

3

3

3

3 м

V_A

V_B

Рис. 2.34

В

F = 36 кН

Ч₁ (рис. 2.32) требуется предварительно рассмотреть сáмую вто- ростепенную часть ВЧ₂ ( рис. 2.35, а ).

И

k





ВЧ₂

з и находим а)

N

N_gk

N_ks

_gk = N_ks = –18 кН / sin  = – 32,45 кН

(

F

F/2

F

F

N_gk

N_ks

знак « – » означает сжатие стержня ).

g

s

C

В записи уравнения равнов есия

В

r

Ч₁

V_C

ВЧ₁

удобно использовать проекции

X

V_B

B

_ks и Y_ks усилия N_ks ( рис. 2.35, в, где б)

X

3

3

_ks = N_ks cos = – 27 кН; Y_ks = N_ks sin  = 

=

N_ks



X_ks

Y_ks

в)

– 18 кН ):

–

Рис. 2.35

( F – Y_ks )∙3 + X_ks∙4 = 0 V_C = 63 кН.

Далее по ранее полученной зависимости: V_B = 6F – 2V_C = = 6∙36 – 2∙63 = 90 кН. Наконец, из уравнения _y = 0 для всей фермы имеем V_B = 6F – V_B – V_C = 6∙36– 90 – 63 = 63 кН. Для контроля найденных опорных реакций можно проверить выполнение условия статики _m_B = 0 фермы в целом ( в качестве моментной выбираем любую точку, кроме уже использованной A ). Читателю предлагается самостоятельно убедиться в том, что проверка под-тверждает правильность вычисления реакций опор.

Определение усилий в стержнях 1, 2, 3 от постоянной нагрузки

F = 36 кН

Для нахождения продольной силы в сечении 1 стержня верх-него пояса ( рис. 2.36, а ) пытаемся применить способ моментной точки: сечением I – I, проходящим по стержню с искомым усилием и минимальному числу других стержней, разделяем ферму на две части и рассматриваем равновесие одной из них ( рационально – с меньшим числом действующих на неё нагрузок и реакций опор; в данном случае левой – рис. 2.36, б_-)^*). Так как сечением выявлены 4 усилия, то основной вариант способа Риттера не реализуется; не обнаруживаются также и особые варианты спо-соба ( см. с. 73 ) – приходится использовать способ совместных се-

F/2

F

F

F

F

F/2

C

II

I

III

u

F/2

F

N₁

u

_

а) б)

1

2

N_uB

h₁

A

B

II

I

III

3

t

A

H_A = 0

N'

N"

B

_

K₁

t

3

3

3

3

3 м

3

V_A = 63 кН

h_uB

3

3

3

y_1

F

N₁

u

F/2

3

y_

F

N₁

K₃

N₂

N_uB

h'

F/2

д)

в) г)

u

_+ _

∙

N^*

A

K₂

_

C

O

_

_

N_uB

V_A = 63 кН

H_A = 0

N_п

V_С = 63 кН

N₃

N_tu

3

3

3

6 м

Рис. 2.36

^*) Из нескольких возможных вариантов разделения фермы целесообразно выбирать тот, в котором сечение проходит по наименьшему числу стержней и отделяет наиболее компактную часть с минимальным числом приложенных к ней внешних сил.

чений, дополнительно последовательно вырезая узлы t и u. Узел u – незагруженный трёхстержневой Т-образный ( см. рис. 2.27 ), в ко-

тором N_tu = 0. Из уравнения для выделенного узла u ( рис.

2 .36, д ) находим N_uB = – F cos  / sin (__) = – 48,30 кН ( здесь  = = arctg (1/3) = 0,32175 рад, _arctg (1/2) = 0,46365 рад ). Далее искомое усилие N₁ определяем по особому варианту «б» способа Риттера ( см. с. 73 ): выбрав моментную точку K₁ в месте пересечения линий действия продольных сил N' и N" ( рис. 2.36, б ), за-

писываем уравнение равновесия левой части фермы :

– N₁∙h₁ – N_uB∙h_uB – (V_A – F/2)∙6 м + F∙3 м = 0 ( h₁ = 4 м ∙ cos  = 3,795 м;

h_uB = 3 м ∙ sin  = 1,3416 м ), из которого получаем N₁ = – 25,61 кН .

Комментарий: если заметить, что N" = 0 ( доказывается рассмотрением частных случаев равновесия двухстержневого опорного узла A и трёхстержневого Т-образного узла t ), то моментная точка – в пересечении линий действия N' и N_uB . Это решение более трудоёмко.

Для выявления усилия N₂ проводим сечение II – II, проходящее также ещё по трём стержням ( рис. 2.36, а ), усилия в двух из которых – N₁ и N_uB – уже ранее вычислены. Неизвестным, кроме искомой силы N₁ , является усилие N_п в стержне нижнего пояса ( рис. 2.36, в ) – это позволяет, рассматривая равновесие левой отделённой части фермы, выбрать один из трёх возможных вариантов определения N₂ :

1) способом проекций – из уравнения N₂ = 3F/2 –

– V_A – N₁∙ sin N_uB∙ sin ;

2) способом Риттера с назначением моментной точки

2а) K₂ ( из уравнения равновесия исключается N_uB ):

N₂ = ( F∙9/2 + F∙6 – V_A∙9 – N₁∙h' ) / 3, где h' = 15 м ∙ sin ;

2б) O ( исключается N₁ ):

N₂ = ( F∙12 – V_A∙6 + N_uB ∙ sin _∙_ N_uB ∙ cos _∙_) / 12.

Предлагается убедиться в том, что во всех трёх случаях по-лучается, конечно, одно и то же значение усилия N₂ = – 22,50 кН .

Из рассмотренных вариантов самый простой – 1-й. Но если бы к моменту определения N₂ усилие N₁ не было известно, то единственный возможный – 2б.

Продольную силу N₃ находим способом моментной точки ( используем сечение III – III; выбор K₃ очевиден – см. рис. 2.36, г ):

N₃ = ( V_C – F/2 ) ∙ 3 / 4 = 33,75 кН ( стержень растянут ) .

36 кН

Вариативность процедур вычисления усилий в стержнях ферм, полезная в расчётах «вручную», становится недостатком при построении единой схемы автоматизированного компьютерного расчёта. Общий алгоритм определения силовых факторов в ферме, реализующий формирование полной системы уравнений статики способом вырезания узлов, с использованием концепции конечных элементов, изложен в п. 2.3.1 ( см. с. 74 ). Применяя его к рассматриваемой ферме, осуществляем нумерацию узлов и эле-ментов ( стержней ) в соответствии с рекомендацией, приведённой на с. 75. Полученная расчётная схема показана на рис. 2.37.

36

36

36

18

y

10

15

19

36

₁₅

₁₉

13

12

6

8

7

11

22

4

3

18

₁₂

2

20

12

9

13

17

16

V_C

₃

1

4

5

8

21

1

7

H_A

x

₄

₈

₁₆

₁₇

_1

11

3

5

9

2

6

10

14

18

V_A

V_B

Рис. 2.37

Абсолютные величины синусов и косинусов углов наклона элементов, нужные для формирования уравнений равновесия уз-лов ( 2.10 ) и ( 2.11 ):

sin ₃ = sin ₄ = sin ₇ = 0,3162; cos ₃ = cos ₄ = cos ₇ = 0,9487;

sin ₈ = 0,4472; cos ₈ = 0,8944; sin ₁₂ = sin ₁₆ = sin ₁₇ = sin ₂₁ = = 0,8; cos ₁₂ = cos ₁₆ = cos ₁₇ = cos ₂₁ = 0,6;

sin ₁₅ = sin ₁₉ = 0,5547; cos ₁₅ = cos ₁₉ = 0,8321;

д

36

ля горизонтальных элементов sin _j = 0, cos _j = 1;

д

4

N₃

N₇

ля вертикальных стержней – соответственно 1 и 0.

18

2

Вектор искомых силовых факторов:

( n_S = 26 )

N₁

N₄

N₅

N₈

S = = [ N₁ N₂ … N₂₂ H_A V_A V_B V_C ] ^т.

1

Схемы равновесия первых

ч

3

H_A

N₂

N₆

етырёх узлов представлены на

р

V_A

Рис. 2.38

ис. 2.38. Соответствующий блок

матрицы коэффициентов уравнений статики и первая часть вектора свободных членов имеют следующий вид:

N₁ N₂ N₃ N₄ N₅ N₆ N₇ N₈ . . . H_A V_A . . .

1

0 1 0 0 0 0 0 0 . . . 1 0 . . . 0 x

1 0 0 0 0 0 0 0 . . . 0 1 . . . 0 y

2

0 0 cos ₃ cos ₄ 0 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 x

–1 0 sin ₃ –sin ₄ 0 0 0 0 . . . 0 0 . . . –18 y

3

A_u = 0 –1 0 0 0 1 0 0 . . . 0 0 . . . B_u,F = 0 x

0 0 0 0 1 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 y

4

0 0 –cos ₃ 0 0 0 cos ₇ cos ₈ 0 0 . . . 0 x

0 0 –sin ₃ 0 –1 0 sin ₇ –sin ₈ 0 0 . . . –36 y

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Полностью сформированные матрицы приведены на следу-ющей странице.

Решение системы линейных уравнений ( можно использовать программы Excel, Mathcad, LINS и др. ) дает

S = – ( A_u ) ^–1 B_{u, F} = [ –63 0 –71,15 71,15 0 0 –25,61 –48,30 –22,50 67,50 –20,25 –6,75 –63 20,25 –32,45 11,25 –11,25 33,75 –32,45 –45 56,25 –33,75 0 63 90 63 ] ^Т – выделенные результаты совпадают с вычисленными ранее значениями усилий и опорных реакций.

Для расчёта статически определимых ферм предназначена компьютерная программа FERSO^*) кафедры строительной механики НГАСУ (Сибстрин), разработанная проф. А.В. Мищенко. В неё заложен вышеописанный алгоритм. Определение силовых факторов требует следующих исходных данных:

Признак фермы – 2 (плоская). Количество узлов – 13, стержней – 22, опорных связей – 4.

Координаты узлов x, y Узлы, соединяемые стержнями

Узел 1: 0.0, 0.0 Стержень 1: узлы 1, 2

Узел 2: 0.0, 2.0 Стержень 2: узлы 1, 3

Узел 3: 3.0, 0.0 Стержень 3: узлы 2, 4

Узел 4: 3.0, 3.0 Стержень 4: узлы 2, 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Узел 12: 15.0, 4.0 Стержень 21: узлы 11, 13

Узел 13: 18.0, 4.0 Стержень 22: узлы 12, 13

Количество вариантов загрузки – 1. Количество нагрузок, параллельных осям x, y – 0, 7.

Значение нагрузки, номер узла Опорные связи, номера узлов, косинусы с осями x, y

Нагрузка 1: –18.0, 2 Связь 1: 1, –1.0, 0.0

Нагрузка 2: –36.0, 4 Связь 2: 1, 0.0, –1.0

. . . . . . . . . . . . . Связь 3: 7, 0.0, –1.0

Нагрузка 7: –18.0, 13 Связь 4: 13, 0.0, –1.0

^*) Аналогичные задачи решает программа, представленная в [ 7 ].

Результаты расчёта – те же S, что представлены выше.

N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 N11 N12 N13 N14 N15 N16 N17 N18 N19 N20 N21 N22 HA VA VB VC	1																					1
1																							1
		0,9487	0,9487
–1		0,3162	-0,3162
	–1				1
				1
		-0,9487				0,9487	0,8944
		-0,3162		–1		0,3162	-0,4472
			-0,9487		–1				1
			0,3162					1
						-0,9487				1	0,6
						-0,3162		–1			–0,8
							-0,8944		–1		–0,6		1
							0,4472				0,8	1												1
										–1				0,8321	0,6
												–1		0,5547	–0,8
													–1		–0,6	0,6	1
															0,8	0,8
														-0,8321				0,8321
														-0,5547				-0,5547
																	–1			0,6
																			1	0,8
																–0,6		-0,8321			1
																–0,8		0,5547	–1
																				–0,6	–1
																				–0,8					1

A_u =

B_u,F =

[ 0 0 0 –18 0 0 0 –36 0 0 0 –36 0 0 0 –36 0 0 0 –36 0 0 0 –36 0 –18 ] ^т

14