–

1Б) загруженный по направлению

одного из стержней:

как основа формирования полной

системы уравнений равновесия на

б

N₁ = F

азе конечно-элементного подхода;

–

F

для отыскания усилий в стержнях

в

N₂ = 0

13_2.3

близи от концов фермы.

2. Трёхстержневой Т-образный узел

Способ моментной точки

и

2Б) загруженный

по направлению

одиночного стержня:

2а) незагруженный:

:

меет три варианта:

N₁

– основной ( сечение, разделя-

ю

F

N₁

N₃= N₁

щее ферму на две части, прохо-

д

N₃= N₁

ит по трём стержням, усилие

в одном из которых требуется

N₂ = 0

N₂ = F

определить; моментная точка

в

3. Четырёхстержневой

Х-образный незагруженный узел

ыбирается в месте пересечения

линий действия двух усилий, со-

п

N₂

N₃

N₁= N₃

N₄= N₂

утствующих определяемому);

– особые:

а) сечение, разделяющее фер-

му на части, проходит более чем

по

Рис. 2.27

трём стержням, но линии

действия всех выявленных сече-

нием усилий, кроме искомого, сходятся в одной точке, которая и принимается в качестве моментной точки;

14_2.3

б) сечение проходит более чем по трём стержням, но неизве-стны усилия в трёх ( или менее ) из них – остальные уже определены ранее.

Способ проекций используется в случае, когда стержни с усилиями, подлежащими исключению из уравнения равновесия, параллельны ( т. е. моментная точка – бесконечно удаленная ). Ось, на которую проецируются силы при составлении уравнения статики, выбирается перпендикулярной к параллельным линиям действия исключаемых усилий.

15_2.3

Способы вырезания узлов, моментной точки и проекций, при правильном применении, позволяют определять усилие в любом стержне фермы с простой решёткой решением одного уравнения равновесия.

В ферме со сложной решёткой при определении некоторых усилий не удаётся составить уравнение равновесия с одним то-лько искомым усилием – наряду с ним в уравнение входят и дру-гие неизвестные продольные силы. Для получения решения дополнительно рассматривается одна или несколько частей фермы ( в том числе, возможно, узлы ), выделяемые вспомогательными сечениями. Это даёт недостающие уравнения статики ( по вышеописанным способам ), решением которых совместно с исходным уравнением удаётся найти искомое усилие. Изложенная процедура составляет суть способа совместных сечений. При его при-менении нужно следить за выполнением условия: каждое сечение, дополнительное к основному, должно выявлять не более двух новых неизвестных усилий ( в случае вырезания узла – не более одного ).

17_2.3

Все рассмотренные выше статические способы предполагают учёт конкретных особенностей рассчитываемой фермы ( очер-тание поясов, тип решётки, место расположения в ферме стержня с определяемым усилием ), следовательно, они соответствуют первому подходу к формированию уравнений статики ( см. с. 11 ).

Второй ( конечно-элементный – см. с. 12 ) способ получения полной системы уравнений равновесия реализуется для ферм в упрощённом виде, если принять во внимание единственную осо-бенность, общую для всех без исключения статически определи-мых ферм, – работу всех стержней только на растяжение / сжатие:

1) уравнения ( 1.4 ) для j-го элемента фермы при отсутствии внеузловых нагрузок дают M_bj = M_ej = Q_bj = Q_ej = 0; N_bj = N_ej ;

ются только два:

2) из уравнений равновесия t-го узла ( 1.9 ) – ( 1.11 ) при нулевых моментах и поперечных силах для плоской фермы оста-

_x^(t) = 0 _N_Kj cos _j + F_{x, t} = 0, ( 2.10 )

_y^(t) = 0 _N_Kj sin _j + F_{y, t} = 0; ( 2.11 )

3) уравнения третьей группы ( см. с. 14, 17 ) не записываются.

Окончательно приняв в качестве неизвестных силовых факторов продольные силы в стержнях фермы N₁ , …, N_j , …, N_C ( N_j N_bj = N_ej ) и реакции опор, для отыскания вектора S = [ N ^т R^т ]^т используем только уравнения второй группы ( равновесия узлов )

( 1.2б ) A_u S + B_u,F = 0. Количество этих уравнений n_y = 2Y для статически определимой фермы равно числу искомых силовых фак-торов n_S = C + C₀ – это следует из условия W = 0.

Согласно ( 2.10 ) и ( 2.11 ), матрица коэффициентов A_u составляется из косинусов и синусов углов наклона осей стержней к глобальной оси x, а вектор B_u,F свободных членов уравнений формируется из компонентов узловых нагрузок, параллельных общим ( глобальным ) осям x и y.

Замечание: для пространственной фермы неизвестных силовых факторов и уравнений равновесия узлов получается 3Y ( в проекциях на общие оси координат x, y, z ).

Для получения матрицы A_u с наиболее простой ( ленточной ) структурой узлы и стержни рационально нумеровать так, чтобы разность номеров узлов и примыкающих к ним элементов была, по возможности, наименьшей. Этого можно достичь перебором узлов последовательно в направлении от одного края фермы к другому ( не обходом по контуру! ) и назначением очередных но-меров стержней сразу после присвоения номера узлу, к которому они примыкают. Данный приём не является обязательным, но облегчает контроль формирования матрицы коэффициентов.

Л

18_2.3

инии влияния усилий в стержнях ферм

При построении линий влияния продольных сил ( усилий ) в стержнях ферм учитывается:

1) узловая передача единичной подвижной нагрузки F = 1, следствием чего является кусочно-линейное очертание Л.В.;

2) возможность действия нагрузок в узлах как верхнего, так и нижнего поясов фермы, в связи с чем линия влияния некоторого усилия строится в двух вариантах – при движении единичного груза по верхнему и нижнему поясам фермы ( используются термины «езда поверху – ЕПВ» и «езда понизу – ЕПН» ); при этом обычно оба варианта Л.В. совмещаются на одной оси.

21_2.3

В однодисковых фермах с простыми решётками линии влияния усилий строятся как типовые по следующим правилам:

 если усилие определяется способом вырезания узла, то

а) для двухстержневого неопорного узла ( c, d на рис. 2.28, а )

Л.В. N – треугольная в пределах одной или двух панелей, примыкающих к узлу ( рис. 2.28, б, в ); при езде по другому поясу ( в рассматриваемой ферме – нижнему ) – нулевая;

F = 1

d

III

h₇





I

II

K₆

2

4

c

8

а

1

5

3

6

7

h₆

)

A

B

e

I

II

III

K₇

22_2.3

F = 1

ЕПН

Л.В. N₁

б )

ЕПВ

ЕПН

1

Л.В. N₂

в

ЕПВ

1

ЕПН

ЕПВ

)

1/sin 

Л.В. N₃

г

0

)

Л.В. N₄

1

д)

ЕПВ

ЕПН

ЕПН

0

Л.В. N₅

е

)

1

ЕПВ

ЕПВ

l = a + b

0

ЕПН

Правая прямая

ж)

0

a

b

Л.В. N₆

Левая

прямая

ЕПН