1.5. Перемещения в статически определимых линейно деформируемых системах

В инженерных расчётах сооружений кроме усилий, необходимых для оценки прочности, требуется знать также линейные и угловые перемещения узлов и сечений конструктивных элементов для проверки выполнения требований по жёсткости.

83

Универсальным средством определения перемещений линейно деформируемых систем ( см. с. 23 ) является метод Максвелла – Мора ( J.C. Maxwell – 1864, O. Mohr – 1874 ), идея которого состоит в том, что в дополнение к действительному состоянию рассчитываемой системы ( при заданных воздействиях – рис. 1.25, а ) рассматривается вспомогательное ( фиктивное ) состояние с единичным силовым воздействием по направлению искомого перемещения ( рис. 1.25, б ); силовые факторы вспомогательного единичного состояния ( рис. 1.25, г ) затем используются, вместе с соответствующими усилиями действительного состояния ( рис. 1.25, в ), для вычисления искомого перемещения.

82

Независимо от типа определяемого перемещения ( линейное или угловое, одиночное или групповое ) используется его единое обозначение _i, где первый индекс (i) указывает на место, тип и направление перемещения ( раскрывается по изображению на расчётной схеме ), а второй () – на причину, вызвавшую данное перемещение.

q

F

а) б)

F_i = 1

t

a

 _i_



a

i

a'

i

i

 _{( j )}

в) г)

S_F

S_i

84

Рис. 1.25

Правило задания вспомогательного единичного воздействия:

в

Кинематическое свойство вспомогательного единичного воздействия : оно ( воздействие ) таково, что способно совершить работу на определяемом перемещении.

о вспомогательном ( фиктивном ) состоянии системы, рассматриваемом независимо ( отдельно ) от действительного состояния, в месте, где определяется искомое перемещение, по его направлению прикладывается равное единице силовое воздействие, тип которого ( сила, момент либо группа сил и/или моментов ) соответствует типу определяемого перемещения ( линейное или угловое, одиночное либо обобщённое ). Если требуется найти линейное перемещение, то прикладывается единичная сила; в случае углового перемещения – единичный момент.

В общем случае вспомогательное

( фиктивное ) единичное воздействие –

обобщённое, соответствующее опреде-

ляемому обобщённому ( групповому )

перемещению.

85

Типовые случаи вспомогательных единичных состояний по-казаны на рис. 1.26: а, б – при определении одиночных ( линейного и углового ) перемещений от силовых воздействий ( нагрузок ); в, г – групповых перемещений; i на рис. 1.26, а, в – обозначение направления искомого линейного перемещения; везде в кружкáх: i – номер единичного состояния, F – символ нагрузки.

q

F_i = 1

_iF

M_i = 1

а) линейное перемещение точки б) угол поворота сечения (узла)

A

A'

_iF

A

1'

1

1

i

i

F

F

i

F

i

в) относительное ( взаимное )

линейное перемещение точек A и B г) относительный ( взаимный )

_iF(A)

_iF =__iF(A)+__iF(B)

q

по направлению линии AB угол поворота сечений 1 и 2

_iF(B)

F_i = 1

2

1

2

1

A

A'

A

B

F_i = 1

i

B

B'

1'

2'

M_i = 1

i

F

i

_iF

F

F

i

Рис. 1.26

Формула Максвелла – Мора для вычисления перемещений в пространственной стержневой системе с элементами малой кривизны от силового воздействия ( нагрузки ) в случае учёта всех видов деформаций стержней ( изгиб, сдвиг, растяжение-сжа-тие, кручение ) имеет вид

90

47_2.3

( 1.27 )

где ds_j – длина бесконечно малого элемента криволинейного

стержня на j-м расчётном участке ( с неизменной по

длине подынтегральной функцией ); для прямолинейого

участка ds_j заменяется на dх_j в локальной системе коор-

динат j-го участка ( х_j – продольная ось, y_j , z_j – главные

оси инерции );

M_{z, i} , M_{y, i} , M_{t, i} – изгибающие и крутящий моменты от единич-

ного воздействия F_i = 1 или M_i = 1 по направлению _iF ;

M_{z, F} , M_{y, F} , M_{t, F} – то же, от заданной нагрузки;

Q_{y, i} , Q_{z, i} , Q_{y, F} , Q_{z, F} – поперечные силы соответственно в еди-

ничном ( i ) и действительном ( F ) состояниях системы;

N_i , N_F – продольные силы в единичном и действительном со-

стояниях;

R_{j, i} , R_{j, F} – реакции j-й упругой связи ( внешней или внутрен-

87

ней, линейной или угловой ) в состояниях i и F ;

EI_z , EI_y , GI_t , GA , EA – жёсткости поперечного сечения стер-

жня соответственно при изгибе относительно осей z и y,

кручении, чистом сдвиге и растяжении-сжатии;

89

k_y , k_z – коэффициенты неравномерности распределения ка-

сательных напряжений в направлениях осей y и z [ 1 – 4 ];

C_j – жёсткость j-й упругой связи;

m_Mz , m_My , m_Mt , m_Qy , m_Qz , m_N – количества участков с дефор-

мациями, соответствующими усилиям M_z , M_y , …, Q_z , N ;

m_u – число упругих связей.

В общем случае все величины в числителях и знаменателях подынтегральных выражений – функции от криволинейной ко-ординаты s_j ( для прямого участка – x_j ): M_{z, i} = M_{z, i} (s_j), M_{z, F} = = M_{z, F} (s_j), …, Q_{z, i} = Q_{z, i} (s_j), Q_{z, F} = Q_{z, F} (s_j), N _i = N _i (s_j), N _F = N _F (s_j),

EI_z = EI_z (s_j), EI_y = EI_y (s_j), GI_t = GI_t (s_j), GA = GA (s_j), EA = EA (s_j), k_y = k_y (s_j), k_z = k_z (s_j) .

86

Для плоской стержневой системы формула Максвелла – Мора упрощается:

90

(1.28)

91

Особенности применения формулы ( 1.28 ) в расчётах перемещений плоских статически определимых стержневых систем разных типов рассматриваются в главе 2.

93

Для отыскания одного перемещения по методу Максвелла – Мора необходимо выполнить расчёт системы дважды – на заданные воздействия действительного состояния ( F ) и на единичное силовое воздействие фиктивного состояния ( i ). Вычисление каждого следующего перемещения требует нового расчёта на со-ответствующую фиктивную единичную нагрузку.

Вычисление интегралов в формуле Максвелла – Мора ( эта операция называется «перемножением эпюр усилий» ) в аналитической форме может быть трудоёмким.

теграла вида ( здесь Ф( x_j ) = S_i ( x_j ) S_F ( x_j ) / C_S ( x_j ),

В практических расчётах «вручную» для вычисления ин-

S – обобщённое обозначение усилия, C_S – жёсткость при деформации, соответствующей усилию S ) на прямолинейном участке длиной l_j можно использовать приёмы численного интегрирования – правило Верещагина и формулу Симпсона.

Правило Верещагина ( А.Н. Верещагин – 1925 )

l_j

Если подынтегральную функцию можно представить в виде Ф( x_j ) = f₁ ( x_j ) ∙ f₂ ( x_j ), где хотя бы один из сомножителей, например, f₁ ( x_j ) – линейная функция на участке длиной l_j , то при любой f₂ ( x_j ) ( условно будем называть её «сложной», хотя и она также может быть линейной ) – рис. 1.27, интеграл Int_j равен про-изведению площади _{f 2} фигуры, огра-

н

f₁ ( x_j )

иченной сверху графиком «сложной»

ф

_{f 2}

ункции f₂ ( x_j ) на ординату гра-

ф

О₂

f₂ ( x_j )

ика линейной функции f₁ ( x_j ) в месте

р

Рис. 1.27

асположения центра тяжести О₂

«сложной» фигуры.

94

Краткая формулировка правила Верещагина:

и нтеграл Int_j равен произведению площади _{f 2} «сложной» эпю-

р

ы на ординату линейной эпюры f₁ ( x_j ) под центром тя-жести О₂ «сложной» эпюры: (1.29)

«перемножаемых» эпюр.

Условие применимости правила Верещагина – линейность хотя бы одной из

«Сложную» эпюру можно раскладывать на простые состав-ляющие, для каждой из которых известно положение центра тяжести и легко вычисляется площадь ( примеры – на рис. 1.28 ).

M_b

M_b

M_e

M_e – M_b

M_b

95

а

= + +

l_j / 2

l_j / 3

)

l_j

ql_j²/ 8

M_b

M_b

l_j / 2

б

l_j / 3

= + +

)

ql_j²/ 32

M_c

M_c + M_b /2

l_j / 2

l_j / 2

Рис. 1.28

Выполнив «перемножение» отдельно всех составляющих с линейной эпюрой, результаты суммируют.

Примечание: при выполнении вычислений по правилу Верещагина следует учитывать знаки _{f 2} и .

Формула Симпсона ( T. Simpson, 1710 – 1761 )

l_j / 2

l_j / 2

Простейший вариант квадратурной формулы Симпсона для приближённого вычисления определённого интеграла – с разби-ением интервала интегрирования на

д

b_j

c_j

e_j

ва равных подынтервала ( рис. 1.29 ):

Ф_bj

Ф_сj

Ф_ej

f_{1, bj}

f_{1, cj}

f_{1, ej}

f_{2, bj}

f_{2, cj}

f_{2, ej}

( 1.30 )

96

Условие применимости формулы Симпсона –

ф

Рис. 1.29

ункция Ф( x_j ) – гладкая, в частности, если эпюры

f₁ ( x_j ) и f₂ ( x_j ) – в пределах одного грузового участка.

97

Для подынтегральных функций Ф( x_j ) в виде полиномов до 3-го порядка включительно, что имеет место на участке постоянной жёсткости ( C_S ( x_j ) = const ) при отсутствии внеузловой на-грузки или при равномерно распределённой нагрузке q , формула ( 1.30 ) даёт точный результат.

волинейных стержней ( арок ).

Как приближённая, формула Симпсона в форме ( 1.30 ) может использоваться для вычисления интегралов на участках кри-