9.7. Задача про n королев.

Задача про N королев формулюється наступним чином. Потрібно розставити на шахматній досці N королев таким чином , щоб ніякі дві королеви не змогли побити одна одну згідно правил гри в шахи. Тому, ніякі дві королеви не можуть бути розміщені в одному ряду: по вертикалі , горизонталі , діагоналі.

Для вирішення задачі, пронумеруємо вертикальні та горизонтальні рядки шахматної доски від 1 до N. Для нумерації діагоналі , розділимо їх на два типи таким чином , щоб діагональ специфицифікувалась типом і номером, які обчислюються із її вертикальних і горизонтальних рядів:

Diagonal = N + Column - Row (type 1)

Diagonal = Row + Column - 1 (type 2)

Якщо ви дивитесь на шахматну доску на ряд 1 по горизонталі та колонку 1 по вертикалі з лівої сторони , тоді Tun1 розділяє діагоналлю клітку як символ похилої риски вліво (\), а Tun2 - вправо (/). Малюнок9.5. демонструє нумерацію діагоналей Tunу2 на досці 4х4.

| 1 | 2 | 3 | 4 |

1 | 1 | 2 | 3 | 4 |

2 | 2 | 3 | 4 | 5 |

3 | 3 | 4 | 5 | 6 |

4 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Мал. 9.5. Нумерація діагоналей Типу2 на шахматній досці.

Для вирішення задачі про N королев на Пролозі, ми повинні вміти встановлювати який рядок, колонка і діагональ ще не зайняті , а також вміти відмічати де вже розміщені королеви.

Позицію королеви можна описати за допомогою зазначення номера рядка та колонки:

queen = q(integer, integer) .

Такий опис задає позицію одної королеви. Для фіксації більшої кількості позицій, можемо використать список:

queens = queen* .

Нам, також, будуть потрібні декілька списків чисел, які будуть визначати ще не зайняті королевами ряди , колонки та діагоналі. Ці списки опишемо наступним чином:

freelist = integer* .

Шахматну дошку зможемо обробляти як єдиний об'єкт, якщо зробимо наступний опис:

board = board(queens, freelist,freelist,freelist,freelist)

де чотири аргументи типу freelist задають відповідно ряди, колонки та діагоналі Типу1 і Типу2.

Наприклад, шахматну доску 4х4 без королев можна задать:

board([],[1,2,3,4],[1,2,3,4],[1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,6,7]),

а шахматну доску з однією королевою в самому лівому верхньому кутку опише предикат:

board([q(1,1)],[2,3,4],[2,3,4],[1,2,3,4,5,6,7],[2,3,4,5,6,7])

Накінець, ми можемо вирішити поставлену задачу, описуючи відношення між пустою доскою і доскою з N королевами. Визначимо предикат placeN(integer, board, board) з двома фразами. Королеви розташовуються одна за одною, поки кожний рядок і кожна колонка не будуть зайняті. Тому в першій фразі два списки freerows і freecols - пусті:

placeN(_, board(D,[],[],X,Y), board(D,[],[],X,Y)):- !.

placeN(_, Board1, Rеsult):-

place_a_queen(N, Board1, Board2),

place_N(N, Board2, Result).

В другій фразі предикат place_a_guun описує зв'язок між Board1 і Board2. В Board2 на одну королеву більше, ніж в Board1. Для опису предикату можемо використати наступну декларацію:

plase_a_queen(integer, board, board)

Тому суть задачі з N королевами заключається в тому, щоб описати , як можна розмістити максимальну кількість королев на досці, починаючи з пустої доски. Реалізовувать таке поповнення королев будемо через поповнення списку новою королевою : [q(R,C) | Queens].

Для розміщення наступної королеви нам потрібно серед вільних рядів Rows знайти ряд R, в якому ми зможемо розмістити королеву. Потім видалимо R і з списку вільних рядів NewR. Цю роботу буде виконувати предикат:

findandremove( R, Row, NewR) .

Аналогічні дії ми повинні зробити і з вакантною колонкою С. Із R і C ми також можемо обчислити номера зайнятих діагоналей. А потім ми зможемо визначити чи є серед D1 і D2 вільні діагоналі.

place_a_gueen( N,

board(Queens,Rows,Columns,Dig1,Dig2),

board([q(R,C) | Queens],NewR,NewS,NewD1,NewD2)):-

findandremove( R, Rows, NewR),

findandremove( C, Columns, NewC),

D1 = N + S + R,

findandremove(D1, Diag1, NewD1),

D2 = R + S - 1,

findandremove(D2, Diag2, NewD2).

Далі ми приводимо повну програму, яка містить тільки декілька добавок. Ці добавки розраховані на те, щоб ви одним викликом:

goal: nqueens(5), могли задати пошук рішення для розміщення п'яти королев на досці 5х5.

domains

queen = q(integer, integer)

queens = queen*

freelist = integer*

board = board(queens, freelist, freelist, freelist,

freelist)

predicates

placeN(integer, board, board)

place_a_queen(integer, board, board)

nqueens(integer)

makelist(integer, freelist)

findandremove(integer, freelist, freelist)

nextrow(integer, freelist, freelist)

clauses

nqueens(N) :-

makelist(N, L),

Diagonal = N*2-1,

makelist(Diagonal, LL),

placeN(N, board([], L, L, LL, LL), Final),

write(Final).

placeN(_,

board(D, [], [], D1, D2),

board(D, [], [], D1, D2)):- !.

placeN(N, Board1, Result) :-

place_a_queen(N, Board1, Board2),

placeN(N, Board2, Result).

place_a_queen(N,

board(Queens, Rows, Columns, Diag1, Diag2),

board([q(R,C)|Queens], NewR, NewC, NewD1, NewD2)):-

nextrow(R, Rows, NewR),

findandremove(C, Columns, NewC),

D1 = N+C-R,

findandremove(D1, Diag1, NewD1),

D2 = R+C-1,

findandremove(D2, Diag2, NewD2).

findandremove(X, [X|Rest], Rest).

findandremove(X, [Y|Rest], [Y|Tail]):-

findandremove(X, Rest, Tail).

makelist(1, [1]).

makelist(N, [N|Rest]) :- N1 = N-1,

makelist(N1, Rest).

nextrow(Row, [Row|Rest], Rest).

Вправи.

9.1.Написати програму, яка моделює роботу недетермінованого скінченного автомату.

9.2.Напишіть програму, яка зливає два впорядковані списки в один впорядкований список.

9.3.Граф називається зв`язаним, якщо між довільними двома вершинами існує шлях. Нехай G=(V,E’), де E’ така підмножина Е, що

1) Т - зв`язний граф

2) в Т не має циклів

Написати предикат остдерево(G,T), де Т - остове дерево G.

9.4.Розглянемо наступну задачу планування. Маємо набір задач t₁, t₂, ..., які мають час виконання відповідно Т₁, Т₂, ... . Всі задачі потрібно обробити на m ідентичних процесорах. Кожна задача може бути вирішена на довільному процесорі, але в кожний даний момент часу кожний процесор вирішує тільки одну із задач. Між задачами існує відношення порядку, яке визначає, котрі з задач (якщо такі є), мають бути завершені, перш ніж дана задача може бути оброблена. Потрібно розподілити задачі між процесорами таким чином, щоб не порушити відношення порядку, причому так, щоб вся сукупність задач була вирішена за мінімальний час.