Тема 5. Похідні вищих порядків.

Мета

знати:поняття похідної n-го порядку, її механічний зміст,правила

знаходження похідних n-го порядку;

вміти:знаходити похідні вищих порядків , застосовувати похідну другого

порядку для дослідження функції.

Опрацюйте самостійно: Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу:підручник для 10-11 класів. К.:Зодіак –Еко ,2000; стр.311-315,

розділ 7,§5;стр.329-330,розділ 8,§3.

В результаті вивчення теми , дайте відповіді на запитання:

1.Дати означення похідної другого порядку функції.

___________________________________________________________________

2.Який механічний зміст має похідна другого порядку?

___________________________________________________________________

3.Дати означення похідної n-го порядку функції.

___________________________________________________________________

Розв’яжи за зразком

Зразок

1. Знайти похідні вказаних порядків: 1) у = 3х⁷ - 6х⁵ - 4х² +17 , у⁽⁴⁾ ;

2) у =х² , у''.

Розв’язання

1) у'= 3∙7х⁶-6∙5х⁴ - 4∙2х + 0 = 21х⁶ – 30х⁴ – 8х;

у'' = 21∙6х⁵ - 30∙4х³ – 8= 126х⁵ -120х³ -8 ;

у''''= 126∙5х⁴ - 120∙3х² – 0 = 630х⁴ – 360х² ;

у⁽⁴⁾ = 630∙4х³ - 360∙2х =2520х³720х ;

2) у'= 2х + х² ;

у'' = 2 +2х + 2х - х² .

Спробуй

2. Знайти похідні вказаних порядків: 1) у = х⁵ + 4х³ + 3х , у⁽⁴⁾ ; 2) у = , у''.

Розв’яжи самостійно за алгоритмом

1. Користуючись другим правилом , дослідити функцію у= 2х³ – 15х² -84х + 8 на екстремуми.

Розв’язання

1. Знайти похідну першого порядку у ' .

2.Прирівняти отриману похідну до нуля і розв’язати отримане рівняння та встановити критичні точки.

3. Обчислити похідну другого порядку у''.

4. Обчислити значення другої похідної у '' в критичних точках і встановити точки максимуму та мінімуму .