1.2 Градиент. Производная по направлению

Скалярным полем называется плоская или пространственная область, с каждой точкой которой связано определенное значение некоторой физической величины . Задание поля скалярной величины равносильно заданию скалярной (числовой) функции .

Линией уровня скалярного поля называется совокупность точек плоскости, в которых функция этого поля имеет одинаковые значения ( , где ).

Градиентом функции называется вектор

= .

Направление вектора в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности (линии) уровня, проходящей через эту точку.

Производная функции в точке в направлении вектора , образующего с осями координат углы и , вычисляется по формуле

Пример 3. Найти градиент и производную функции в точке М(3,4₎ в направлении вектора l, составляющего угол с положительным направлением оси Ох.

Решение. Найдем частные производные функции в точке М:

.

Тогда градиент будет равен: .

Найдем направляющие косинусы: . Тогда производная по направлению будет равна

.

2 Двойные интегралы

2.1 Основные понятия и определения

Пусть в замкнутой области плоскости задана непрерывная функция .Разобьём область на n «элементарных областей» , площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) через .

В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точки на и составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма называется функции в области .

Если существует предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения области на части и выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

В этом случае функция называется интегрируемой в области ; - область интегрирования; и - переменные интегрирования; или - элемент площади.

2.2 Основные свойства двойного интеграла

1.

2.

3. Если область разбить линией на две области и , то

4.Если в области имеет место неравенство , то и . Если в области функции то и .

5. Если подынтегральная функция , то двойной интеграл численно равен площади области интегрирования:

.

6. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой S, то

, где и - соответственно наименьшее и наибольшее значение подынтегральной функции в области .

7. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой S, то в этой области существует такая точка , что

Величину называют средним значением функции в области .

8. Координаты центра тяжести однородной пластинки можно вычислить по формулам

,

Пример 4. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями .

Рис.1

Решение. Так как фигура симметрична относительно оси , то . Остается найти . Найдем площадь фигуры:

Тогда

.

Пример 5. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

.

Решение. Область интегрирования представляет собой фигуру, изображенную на рис. 1. Для изменения порядка интегрирования разобьем область на две части: и . Тогда исходный интеграл разбивается на сумму двух интегралов: