7. Арифметические операции в различных системах счисления

Системы счисления

Понятие числа - фундаментальная основа как математики, так и информатики. Но если в математике наибольшее внимание уделяется методам обработки чисел, то в информатике нельзя обойти методы представления чисел, т. к. именно они определяют необходимые ресурсы памяти, скорость и погрешность вычислений.

Числа принято изображать с помощью специальных символов, называемых цифрами. Совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются, называют системой счисления. Системы счисления - способы кодирования числовой информации, т.е. способ записи чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называют цифрами.

Системы счисления разделяются на две группы: позиционные и непозиционные.

В непозиционной системе счисления смысл каждой цифры числа не зависит от занимаемой ею позиции. Примером такой системы счисления является римская система. В числе ХХХ, записанном в этой системе, цифра Х в любой позиции означает 10 (десять). В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Поскольку выполнять арифметические действия с числами в непозиционных системах счисления достаточно сложно, то постепенно во всем мире перешли к позиционным системам счисления.

В позиционной системе счисления значение цифры зависит от ее места (позиции). Например, в числе 737,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая- 7 единиц, а третья- 7 десятых долей единицы.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основанием позиционной системы счисления называется число используемых цифр в системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число - два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с q означает сокращенную запись выражения

а_n-1 q^n-1 + a_n-2 q ^n-2 +… + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 +… + a_-m q^-m,

где a - цифра системы счисления;

n и m - число целых и дробных разрядов, соответственно.

Нередко возникает необходимость переводить числа из одной системы в другую.

Десятичная система счисления

Название «десятичная» объясняется тем, что в основе этой системы лежит основание десять. В этой системе для записи чисел используются десять цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Десятичная система является позиционной, так как значение цифры в записи десятичного числа зависит от ее позиции, или местоположения, в числе.

Позицию, отводимую для цифры числа, называют разрядом.

Например: число 524 содержит 5 сотен, 2 десятка, 4 единицы.

При этом цифра 5 имеет наибольший вес и называется старшей цифрой числа, а цифра 4 - наименьший вес и называется младшей цифрой этого же числа. Различие весов цифр в числе 524 становится очевидным, если это число записать в виде суммы

5 х 10² +2 х 10¹+ 4 х 10⁰,

в этой записи число 10 - основание системы счисления. Для каждой цифры числа основание 10 возводится в степень, зависящую от позиции цифры, и умножается на эту цифру. Степень основания для единиц равна нулю, для десятков - единице, для сотен - двум и т.д.

Если десятичное число дробное, то оно тоже легко записывается в виде суммы, в которой степень основания для каждой цифры дробной части отрицательна и равна -1 для старшей цифры дробной части, -2 для следующей цифры дробной части и т.д.

Например, десятичное число 384,9506 выразится суммой

384,9506=3 х 10² + 8 х 10¹ + 4 х 10⁰ + 9 х 10^-1 + 5 х 10^-2 + 0 х 10^-3 + 6 х 10^-4

Таким образом, вес любой цифры десятичного числа представляет собой определенную целую степень десяти, а значение степени диктуется позицией соответствующей цифры.

Двоичная система счисления

В компьютерах применяется, как правило, не десятичная, а позиционная двоичная система счисления, т.е. система счисления с основанием 2.

В двоичной системе любое число записывается с помощью двух цифр 0 и 1 и называется двоичным числом.

Для того чтобы отличить двоичное число от десятичного числа, содержащего только цифры 0 и 1, к записи двоичного числа в индексе добавляется признак двоичной системы счисления, например 110101,111₂.

Каждый разряд (цифру) двоичного числа называют битом.

Как и десятичное число, любое двоичное число можно записать в виде суммы, явно отражающей различие весов цифр, входящих в двоичное число. В этой сумме в качестве основания используется число 2. Например, для двоичного числа 1010101,101 сумма примет вид.

1 х 2⁶ + 0 х 2⁵ + 1 х 2⁴ +0 х 2³ + 1 х 2² + 0 х 2¹ + 1 х 2⁰ + 1 х 2^-1 + 0 х 2^-2 + 1 х 2^-3.

Эта сумма записывается по тем же правилам, что и сумма для десятичного числа. В данном примере двоичное число имеет семизначную целую и трехзначную дробную части. Поэтому старшая цифра целой части, т.е. единица, умножается на 2^7-1 = 2⁶, следующая цифра целой части, равная нулю, умножается на 2⁵ и т.д. по убывающим степеням двойки до младшей, третьей, цифры дробной части, которая будет умножена на 2^-3. Выполняя в этой сумме арифметические операции по правилам десятичной системы, получим десятичное число 85,625. Таким образом, двоичное число 1010101,101 совпадает с десятичным числом 85,625, или

1010101,101₂ = 85,625_10.

Правило перевода. Чтобы перевести число из двоичной системы в десятичную систему счисления, нужно двоичное число представить в виде суммы степеней двойки с коэффициентами-цифрами и найти эту сумму.

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе, т.е. системе счисления с основанием 8, числа выражаются с помощью восьми цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Например, в восьмеричном числе 357 есть семь единиц, пять восьмерок и три восьмерки в квадрате, т.е.

357₈ = 3 х 8² + 5 х 8¹ + 7 х 8⁰,

где индекс «8» у числа 357 означает систему счисления. Выполняя в записанной сумме арифметические действия по правилам десятичной системы, получим, что 357₈ = 239₁₀, т.е. восьмеричное число 357 совпадает с десятичным числом 239.

Шестнадцатеричная система счисления

Для сокращения записи двоичных чисел используют систему счисления с основанием 16. Эту систему называют шестнадцатеричной. В этой системе счисления для записи чисел используются цифры десятичной системы счисления 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и для обозначения шести недостающих цифр используются первые прописные буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F, имеющие значения десятичных чисел 10, 11, 12, 13, 14 и 15 соответственно. Таким образом, «цифрами» шестнадцатеричной системы являются все цифры десятичной системы и, кроме того, шесть латинских букв. За числом F следует число F + 1, что в десятичной системе соответствует 15 + 1 = 16.

Поэтому шестнадцатеричное число может иметь, например, вид 3Е5А1. расписывая это число суммой с учетом основания 16, получим

3Е5А1₁₆ = 3 х 16⁴ + Е х 16³ + 5 х 16² + А х 16¹ + 1 х 16⁰.

Выполняя арифметические операции по правилам десятичной системы и учитывая, что А = 10, Е = 14, получим 3Е5А1₁₆ = 255393₁₀. Заметьте, что число в шестнадцатеричной системе более компактно, чем в десятичной системе.

Перевод в двоичную систему счисления чисел из десятичной системы счисления

При переводе десятичного числа в двоичное нужно это число делить на 2.

Например. Число 891 перевести из десятичной системы в двоичную систему счисления.

Записываем в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Ответ: 891₁₀ = 1101111011₂.

Правило перевода. Чтобы перевести целое положительное десятичное число в двоичную систему счисления, нужно это число разделить на 2 полученное частное снова разделить на 2 и т.д. до тех пор, пока частное не окажется меньше 2. в результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления заключается в поиске целых частей при умножении на 2.

Например. Переведем десятичную дробь 0,625 в двоичную систему счисления.

Чтобы найти первую после запятой цифру двоичной дроби, нужно умножить заданное число на 2 и выделить целую часть произведения.

0,625 х 2 = 1,250, целая часть равна 1;

0,250 х 2 = 0,500, целая часть равна 0;

0,500 х 2 = 1,000, целая часть равна 1.

Дробная часть последнего произведения равна нулю. Перевод закончен. Записываем в одну строку полученное значение целой части, начиная с первой цифры. 0,625₁₀ = 0,101_2.

Каждый раз в умножении на 2 участвуют только дробная часть десятичного числа.

Правило перевода. Чтобы перевести положительную десятичную дробь в двоичную, нужно дробь умножить на 2. Целую часть произведения взять в качестве первой цифры после запятой в двоичной дроби, а дробную часть вновь умножить на 2. В качестве следующей цифры двоичной дроби взять целую часть этого произведения, а дробную часть произведения снова умножить на 2 т. д.

При переводе конечной десятичной дроби в двоичную может получиться. Например. Переведем десятичную дробь 0,3 в двоичную систему счисления.

0.3 х 2 = 0,6, целая часть равна 0;

0,6 х 2 = 1,2, целая часть равна 1;

0,2 х 2 = 0,4, целая часть равна 0;

0,4 х 2 = 0,8, целая часть равна 0;

0,8 х 2 = 1,6, целая часть равна 1;

0,6 х 2 = 1,2, целая часть равна 1 и т.д.

Дробная часть 0,6 уже была на втором шаге вычислений. Поэтому вычисления начнут повторяться. Следовательно, в двоичной системе счисления число 0,3 представляется периодической дробью. 0,3₁₀ = 0,0 (1001)₂. На практике эти операции продолжают до тех пор, пока после запятой не получится заданное количество цифр.

Перевод десятичных чисел в восьмеричную систему счисления

Для перевода числа из десятичной системы в восьмеричную применяется тот же прием, что и при переводе в двоичную систему.

Преобразуемое число делят на 8 по правилам десятичной системы с запоминанием остатка, который, конечно, не превышает 7. Если полученное частное больше 7, его тоже делят на 8, сохраняя остаток. Новое частное, если оно больше 0, в свою очередь делят на 8. этот процесс деления на 8 продолжается до тех пор, пока полученное частное не станет равно нулю. Затем выписывают подряд все остатки, начиная с последнего. Это и будет результирующее восьмеричное число.

Например. Переведем число 891 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему.

891 делим на 8, получим 111 в остатке 3,

111 делим на 8, получим 13 в остатке 7,

13 делим на 8, получим 1 в остатке 5.

В итоге 1 - есть старшая цифра двоичного числа, далее 5,7,3.

891₁₀ = 1573₈.

Перевод десятичных чисел в шестнадцатеричную систему счисления

Аналогично преобразуют десятичное число в шестнадцатеричное с той лишь разницей, что это число вместо 8 делят на 16.

Например. Число 891 перевести из десятичной системы в шестнадцатеричную систему счисления.

891 делим на 16, получим 55 в остатке 11,

55 делим на 16, получим 3 в остатке 7.

В итоге 3 - есть старшая цифра десятичного числа,

891₁₀=37В₁₆, т. к. В=11.

Арифметические операции с числами в позиционных системах счисления

Арифметические действия в двоичной системе счисления выполняют по тем же правилам, что и в десятичной системе, с той лишь разницей, что основание системы счисления равно двум и используются только две цифры.

Рассмотрим операцию сложения.

Сложение двоичных чисел сводится к сложению цифр соответствующих разрядов с учетом переносов.

При сложении двух двоичных чисел используются следующие четыре правила:

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10, происходит перенос единицы в соседний (старший) разряд.

Например. Выполним сложение двух двоичных чисел 101 + 11 (в десятичной системе это 5 + 3 = 8).

Сложение лучше выполнять в столбик, добавив недостающие нули.

101

+

011

Рассмотрим процесс сложения поэтапно.

1. Выполняется сложение в младшем разряде: 1 + 1 = 10.В младшем разряде суммы записывается 0, и единица переносится в следующий старший разряд.

2. Суммируются цифры следующего слева разряда и единица переноса:

0 + 1 + 1 = 10. В этом разряде суммы записывается 0, и опять единица переносится в старший разряд.

3. Суммируются цифры третьего слева разряда и единица переноса:

1 + 0 + 1 = 10. В этом разряде записывается 1, и единица переносится в следующий старший разряд и т.д.

4. В результате получили:

Итак, 1000₂ = 8₁₀.

Сложение - важнейшая операция в двоичной арифметике. Три другие арифметические операции над двоичными числами в компьютерах - вычитание, умножение, деление - осуществляются обычно с помощью сложения.

Вычитание. При вычитании двоичных чисел нужно помнить, что0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

0 - 1 = 1, занимаем единицу в соседнем (старшем) разряде

1 - 1 = 0

Например. Найти разность двоичных чисел: 1010 - 101. Выполним вычитание в столбик, начиная с младшего разряда:

1. Для младшего разряда имеем: 0 - 1. Поэтому занимаем единицу в старшем разряде и находим 10 - 1 = 1.

2. В следующем разряде уже будет 0 - 0 = 0.

3. В разряде слева опять имеем 0 - 1. Занимаем единицу в старшем разряде и находим

10 - 1 = 1.

4. В следующем разряде остался 0.

5. В результате получили: 1010

-

101

101

Умножение. При умножении двоичных чисел нужно помнить, что

0 х 0 = 0

1 х 0 = 0

0 х 1 = 0

1 х 1 = 1

Например. Найти произведение двоичных чисел: 101₂ и 110₂. Выполним произведение чисел в столбик, начиная с младшего разряда:

101 101 Проверка: 101₂ = 1 х 2² + 0 х 2¹ + 1 х 2⁰ = 5

х + 110₂ = 1 х 2² + 1 х 2¹ + 0 х 2⁰ = 6

110 101

000 11110

11110₂ = 1 х 2⁴ + 1 х 2³ + 1 х 2² + 1 х 2¹ + 0 х 2⁰ = 16 + 8 + 4 +2 + 0 = 30₁₀, т.е. 5 х 6 = 30

Рассмотрим процесс умножения поэтапно.

1. Умножая на младший разряд по таблице, имеем 000.

2. Умножая на следующий разряд, получаем 101, но со сдвигом на один разряд влево.

3. Умножая на старший разряд, получаем также 101, но сдвигом на один разряд влево.

4. Теперь с учетом таблицы сложения двоичных чисел складываем и получаем результат 11110₂.

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Деление. Деление в двоичной системе счисления производится по тем же правилам, что и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Например. Разделим число 30 на число 5. Для этого переведем число 30₁₀ в двоичное

11110₂.

30 2

0 15 2

1 7 2

1 3 2

1 1 2 - (старшая цифра двоичного числа)

Выполним деление углом на 5₁₀ = 101₂:

11110 101

101 110

101

-

101

0 Получили результат 110₂, равный 6₁₀.

Заключение

Программа Word пакета Microsoft Office 2000 представляет собой популярнейший текстовый процессор, обладающий широкими возможностями по обработке текстовых документов.

Прежде всего, в Word имеются мощные средства форматирования текста. В частности, для того или иного фрагмента текста можно задать практически любую настройку: тип и размер шрифта, начертание, цвет, а также разнообразные эффекты. Имеются возможности по форматированию строк, например, задание абзацев и отступов, выравнивание строк относительно краев страницы. Кроме того, выделенный текст можно оформить в виде списка, например, нумерованного или помеченного маркерами. Наряду с этим, пользователь может выполнить разбиение текста на колонки, количество и параметры которых задаются дополнительно.

Word предоставляет пользователю богатый набор инструментов для работы с таблицами. Помимо создания таблиц произвольной структуры, можно также выполнять любые изменения в созданной таблице (добавление или удаление строк и столбцов, объединение или разбиение ячеек). Кроме того, имеется возможность создания таблиц, используя автоформат, т.е. пользователь выбирает из имеющегося набора наиболее подходящий формат таблицы, который включает определенное сочетание таких параметров, как границы и заливка ячеек, цвет, а также шрифт для содержимого таблицы.

В редакторе Word имеется также возможность вставки в текстовый документ различных объектов, например, надписей, картинок или диаграмм. Кроме того, можно создавать собственные рисунки и схемы, используя встроенные средства редактора. Следует отметить, что Word предоставляет возможность создания в документе математических формул любой сложности.

Для удобства работы пользователю предоставляется возможность сервиса, Связанные, в частности, с встроенным режимом проверки правописания содержимого документа, расстановкой переносов, поиском синонимов, процедурой автоматической замены тех или иных сочетаний символов на требуемые слова или словосочетания.

При подготовке документа к печати можно задать страницам поля, содержимое колонтитулов, формат и ориентацию страницы. Кроме того, имеется удобное средство предварительного просмотра документа перед печатью, которое, в частности, предлагает возможность одновременного просмотра нескольких страниц.

Таким образом, текстовый процессор Word позволяет быстрым и удобным способом решать задачи, связанные со сферой делопроизводства, в частности, создавать и обрабатывать текстовые документы любой структуры и степени сложности.

Рассмотрим общие сведения о редакторе электронных таблиц Excel.

Термин «электронная таблица» используется для обозначения простой в использовании компьютерной программы, предназначенной для обработки данных. Обработка включает в себя:

- проведение различных вычислений с использованием мощного аппарата функций и формул;

- исследования влияния различных факторов на данные;

- решение задач оптимизации;

- получение выборки данных, удовлетворяющих определенным критериям;

- построение графиков и диаграмм;

- статистический анализ данных.

Основное достоинство электронных таблиц заключается в простоте использования средств обработки данных. И хотя средства обработки данных по своим возможностям могут сравниться с базами данных, работа с электронными таблицами не требует от пользователя специальной подготовки в области программирования.