2Дифференциалды түрдегі Джоуль-ленц заңы
Сыртқы және электр күштерінің қуаты зарядтардың қозғалысы арқылы сызықтық өткізгішті тізбекте толық жылуға айналады. Бұл заңдылық көлемдік өткізгіштерден гұратын тізбекке де орындалады. Элементар өткізгішті қыздыратын ток қуаты мына өрнекпен аныталады:
dN = R ( dJ )2 . (5.11)
Мұндағы кедергі : R = , онда (11) өрнек мына түрде жазылады:
dN
=
.
Теңдіктің екі жағында өзектің, яғни цилиндрдің көлеміне бөлсек,онда бірлік көлемді қыздыратын ток қуатын аламыз :
=
=
. (5.12)
Ом
заңын қолданатын болсақ:
=
+
ст)
=
.
(5.13)
Онда Джоуль-Ленц заңының дифференциалды түрін аламыз:
+
=
;
демек бірлік көлемдегі электрлік және сыртқы күштердің қуаты толығымен оны қыздыруға жұмсалады.
3Векторлық өрістің роторын есептеу
;
rot
Ответ:rot
4БИЛЕТ
1Өріс теңдеулері.Потенциалды өрістің теңдеуі
Тақырыбы: Өріс теңдеулері. Векторлы өріс классификациялары.
Векторлық өріс теңдеулерін шешу жолдарын Гамильтон және Лаплас операторлары арқылы ќарастырамыз. Бұл операторлар скалярлы және векторлы функциядан координата бойынша туынды алуды - операторды сол функцияларға көбейту жеткілікті болатындай етіп жеңілдетеді. Олай болса көлемдік туындыларды, градиенті осы операторлар арқылы жазылымын көрсетеміз.
1)
Скалярдың градиенті –Гамильтон операторы мен скаляр функцияның көбейтіндісіне тең.
2)
= ах/х
+ ау/у
+ а
z/z
Вектордың дивергенциясы-Гамильтон операторы мен векторының скалярлы көбейтіндісіне тең.
3)
Вектордың роторы-Гамильтон операторы мен векторының векторлық көбейтіндісіне тең.
Гамильтон операторы ќарапайым вектор ретінде қарастырылса, оған векторлық алгебра ережелерін қолдануға болады.
Қарапайым векторлы өріс теңдеулері
-векторлық
өрісін зерттеу-оның скалярлы проекциялары
тудыратын скалярлы өрісті зерттеуге
әкеледі. Сондықтан векторлық өріс
ерекшелігі- ол
,
,
скалярларының үш градиентімен немесе
тоғыз туындыдан т±ратын күрделі
математикалық аппарат тензор- туындымен
анықталады. Бірақ б±л аппараттың есептеу
күрделілігіне байланысты векторлық
өрісті зерттеуде тензор - туындының
инварианттары - дивергенция мен ротор
қарастырылады. Сондықтан олар векторлық
функцияның көлемдік туындысы деп
саналып, векторлық өріс теңдеулері
мына түрде жазылады :
(4.1)
М±нда:
-векторлық
өрістің құйынының көлемдік тығыздығы
- векторлық функция , ал В -скалярлық
функция, өріс көздерінің көлемдік
тығыздығы. ¤рісті толық сипаттау үшін
осы теңдеулер системасын шешу қажет.
(1)-Тењдеулер системасыньњ шешімі деп, осы тењдеулерді тепе-тењдікке айналдыратын кез келген векторлъќ өрісті айтамыз.
Векторлық өріс бар кеңістік бөлігінде векторлық функция үздіксіз және оның жеке туындылары да үздіксіз.
Енді қарапайым векторлыќ өрістерге арналған өріс теңдеулерін ќарастырамыз.
Векторлыќ өріс қарапайым деп есептелінеді, егер оның көлемдік туындыларының бірі сол өрісте нольге айналса.
1 . Өріс потенциалды , яғни құйынсыз, онда оның теңдеуі былай жазылады.
(4.2)
¤рістің роторы нольге тең болады, егер векторды скаляр функцияның градиенті ретінде қарастырсақ, яғни десек, онда:
.
Мүндағы
скаляр көбейткіш
-ді жақшаның сыртына шығарғанда, жақша
ішінде бірдей екі вектордың векторлық
көбейтіндісі қалады, ол әрқашанда
нольге тең: [
]
= 0, яғни:
.
Б±л теңдіктің физикалық мағынасы потенциалды өрістің ќ±йынсыз екенін көрсетеді. Сондықтан, -векторлық функциясы (4.2)-теңдеулер системасының шешімі бола алады. Б±л шешім системадағы екінші теңдікті де ќанағаттандыруы қажет. Онда дивергенция былай жазылады:
Б±лай болған жағдайда өріс теңдеуі мына түрге айналады:
=В
Лаплас операторын ашып жазатын болсақ, б±л теңдеу мынандай түрге ие болады:
Оны Пуассон тењдеуі дейміз. Теңдеу мәні-потенциалды өрістің кµзі бар.
Өріс потенциалды болғанда (4.2)- теңдеулер системасы Пуассон теңдеуін шешуге алып келеді. Б±л теңдеуді магниттік және гравитациялық өрісті зерттеуде кеңінен қолданады.
Демек, потенциалды өрістің теңдеулерінің шешімі болып скаляр функцияның градиенті арқылы анықталатын векторлық өріс жатады, ал скаляр функция Пуассон теңдеуін қанағаттандыру керек.