2Дифференциалды түрдегі Кирхгов заңы
Кирхгофтың бірінші заңы.
Ол тізбектегі сызықтық өткізгіштердің кез келген нүктесінде электр зарядтарының жойылмайтындығын көрсетеді. Зарядтардың бұл қасиеті көлемдік өткізгіштер үшін де сақталады. Егер көлемдік өткізгіштегі ток нольге тең болмаса, онда оның мәні ток тығыздығынан векторлық ағын ретінде анықталады немесе бетпен шектелетін көлемдегі зарядтардың уақыт бойынша өзгерісі ретінде де анықталады. Ол мынандай интегралдық түрдегі теңдеуге алып келеді :
nds
= -
. (5.6)
Бұл Крихгофтың бірінші заңының интегралдық түрдегі жазылымы.
Мұндағы р-заряд тығыздығы , (-) таңба оң зарядтардың азаюын көрсетеді. Егер Остроградский - Гаусс өрнегін еске алсақ, сол жақтағы бет бойынша алынған интегралды көлемдік интегралға ауыстырамыз:
dv
= -
.
(5.7
Бұл екі интеграл бір-біріне тең, егер интеграл астындағы шамалар тең болса, яғни :
div
= -
.
(5.8)
Бұл теңдік Кирхгофтың бірінші заңының дифференциалды түрі.
Егер ток уақыт бойынша өзгермейтін тұрақты болса онда бұл заң былай жазылады:
div = 0
яғни тұрақты ток тығыздығының күш сызықтары тұйық - үзілмейді.
Кирхгофтың екінші заңы.
Тұйықталған контурде электр өрісінің кернеулігінің айналымы нольге тең, себебі тізбектегі потенциалдың өсуі мен кемуінің алгебралық қосындысы нольге тең.
Онда бұл заңдылық былай жазылады:
dl
= 0
. (5.9)
Бұл Кирхгофтың екінші заңының интегралдьқ жазылымы.
Егер Стокс теоремасын пайдалансақ, онда тұйық сызық бойынша алынған интегралды беттік интегралмен алмастыруға болады, яғни:
dl
=
ds
= 0.
Бұл тепе - теңдік мына жағдайда орындалады, егер rot = 0 . (5.10)
Соңғы өрнек Крихгофтың екінші заңының дифференциалды жазылымы болып есептелінеді, ол тұрақты токтың электрлік өрісі құйынсыз екенін көрсетеді.
3Скалярлық өрістің градиентін есептеу
;
grad
Ответ:grad
=
3БИЛЕТ
1Грина өрнектері(бірінші және екінші).Дирихле интегралы
Грин өрнектері потенциалды жєне квазипотенциалды µрістерге арналѓан. Сондыќтан мұндай µрістерге аныќтама беріп, олардыњ потенциалды жєне квазипотенциалды болу шарттарын ќарастырамыз.
Векторлы
өрісті
потенциалды дейміз, егер оныњ векторы
скалярлы функцияның градиенті ретінде
аныќталатын болса, яѓни :
,
м±ндаѓы
скалярлы функция
-
векторлы
µрістіњ
скалярлы потенциалы деп
аталынады.
Осыѓан байланысты кез келген скалярлы µріске , оныњ градиентінен туындайтын векторлы µріс сєйкес келеді деп айтуѓа болады. Ал кез келген вектор , керісінше скалярлы µріс градиенті бола алмайды.
Потенциалды µрісте дењгейлік бетті - эквипотенциалды беттер дейміз, яѓни б±л потенциал шамасы бірдей бет деген ±ѓым береді. Б±л беттер бір-біріне параллель, сондыќтан ешќашанда ќиыспайды. Олардыњ кез келген жазыќтыќпен ќиылысуы - эквипотенциалды сызыќтарды береді.
өрістің потенциалды болуыныњ мынандай шарттары бар:
Өрістің потенциалды болуының қажетті және жеткілікті шарты болып µріс векторынан кез –келген ќисыќ бойымен алынѓан интеграл шамасының ќисыќтыњ бастапќы жєне соњѓы н‰ктелеріне ќатысты потенциалдар айырмасымен аныќталуы жатады:
,
яѓни интеграл шамасы ќисыќ т‰ріне байланысты емес.
Өрістің потенциалды болуының қажетті және жеткілікті шарты болып өріс векторынан алынған ротордың нольге айналуы жатады. Соњѓы µрнекті т±йыќ ќисыќпен алатын болсаќ, Стокс тењдеуін жазамыз:
.
тењдіктіњ сол
жаѓындаѓы интеграл нольге айналады,
себебі интегралдаудыњ бастапќы жєне
соњѓы н‰ктелері бір-біріне сєйкес
келіп т±р, сондыќтан оњ жаќтаѓы интеграл
да нольге айналады. Олай болса интеграл
астындаѓы шама нольге тењ болу керек,
яѓни
.
М±ндай өрістер
циркуляциясыз,
ќұйынсыз
болады.
Потенциалды өріс векторыныњ ќ±раушылары декартты координаталар системасында былай өрнектеледі:
.
Демек, б±л вектордыњ кез-келген осьтегі проекциясы – скаляр функцияныњ сол баѓыттаѓы туындысымен аныќталады.
өрісті квазипотенциалды дейміз, егер оныњ векторы скалярлы функцияны басќа бір скалярлы функцияның градиенті болатын векторға кµбейту арќылы аныќталатын болса, яѓни:
,
(3.11)
ал оныњ ќ±раушылары былай аныќталады:
.
өрістің
квазипотенциалды болуының қажетті
және жеткілікті шарты болып өріс
векторы роторының өріс векторына
көбейтіндісі нольге тең болуы жатады,
яғни:
Осындай µрістер ‰шін Остроградский-Гаусс µрнегі жазамыз, яѓни:
, (3.12)
м±ндаѓы
векторы орнына (3.11) µрнекті ќоятын
болсаќ, квазипотенциалды µріске арналѓан
Остроградский-Гаусс µрнегін аламыз:
.
(3.13)
(3) тењдіктегі интеграл астындаѓы µрнектерді ашып жазамыз:
а/
+
+
=
+
+
=
+
+
=
;
б/
;
Б±л µрнектерді (3.13) тењдікке ќойсаќ, онда Остроградский-Гаусс тењдеуі былай жазылады:
.
(3.14)
Б±л µрнек Гринніњ бірінші µрнегі деп аталынады.
М±ндай
µрнекті векторы мына т‰рде аныќталатын,
яѓни
болатын,
басќа бір квазипотенциалды µріске
арнап жазамыз:
.
(3.15)
Егер (3.15) тењдіктен (3.14) тењдікті алып тастайтын болсаќ, онда олардыњ айырмасы былай жазылады:
.
(3.16)
Б±л µрнек Гринніњ екінші µрнегі деп аталынады.
Дирихле
интегралы.
Жеке жаѓдайлар:
болѓан кездегі Гринніњ бірінші µрнегін
ќарастырамыз (3.14).
Ондаѓы
:
,
осыѓан байланысты Гринніњ бірінші
µрнегіндегі сол жаќтаѓы интегралды
екіге бµліп жазамыз:
.
Кµлем бойынша алынатын сол жаќтаѓы екінші интегралды I – єріпімен белгілеп , оны Дирихле интегралы дейміз. Ол мына екі интеграл айырымы арќылы аныќталады:
.
Дирихле интегралы функцияныњ квадратынан т±ратын болѓандыќтан, ол єрќашанда оњ шама . Сондыќтан оњ жаќтаѓы интегралдар ‰шін мына тењдік орындалады:
,
яѓни бет бойынша алынѓан вектор аѓыны- кµлемде вектордыњ таралуына тењ немесе одан кµп. Дирихле интегралы ќолайлы т‰рде былай жазылады:
.