1Векторлық ағын.Остраградский-Гаусс және Стокс өрнектері,векторлық жазылымы Векторлыќ аѓын

Аѓын – гидродинамика саласынан алынѓан ±ѓым, ол негізінен с±йыќ - газ аѓыны туралы т‰сінік береді. Егер векторлыќ µрісті векторлыќ сызыќтар арќылы кескіндейтін болсаќ, онда аѓын деп векторлыќ сызыќтардыњ аѓыны туралы айтуѓа болады.

Векторлы µріс векторлыќ сызыќтар арќылы берілсін, осы µрісте ауданы S болатын т±йыќ бет аламыз, оѓан т‰сірілген нормаль баѓытын деп белгілейміз. Осы т±йыќ бет арќылы бірлік уаќытта µтетін векторлыќ аѓынды аныќтау ‰шін кішкене элементар dS ауданын кесіп аламыз. Элементар бет арќылы µтетін аѓын мына µрнекпен аныќталады:

, м±ндаѓы - µріс векторыныњ сыртќы нормальѓа т‰сірілген проекциясы. Сонда б‰кіл бет арќылы µтетін аѓынды есептеу – осы соњѓы µрнекті интегралдауѓа алып келеді:

. (2.5)

Егер нормаль т±йыќ беттіњ ішінен сыртќа ќарай баѓытталса, онда элементар бетке де баѓыт беруге болады, яѓни: . Б±л жаѓдайда соњѓы µрнек былай жазылады:

. (2.6)

Б±л µрнек векторлы µрістіњ скалярлы аѓыны деп аталынады. Себебі, интеграл астында екі вектордыњ скалярлы кµбейтіндісі т±р.

¤рістегі т±йыќ бет белгілі бір кµлемді шектеп т±р. Егер б‰кіл бет арќылы µтетін аѓынныњ сол бет шектейтін кµлемге ќатынасын алсаќ, ол бірлік кµлемге келетін аѓынды аныќтайды:

,

б±л функцияныњ кµлем нольге ±мтылѓандаѓы шегі векторлыќ µріс кµзініњ тыѓыздыѓын береді. Сол кµздерден векторлыќ сызыќтар таралады немесе оѓан жинаќталады, ол дивергенция деген ±ѓымды т‰сіндіреді.

Демек, векторлы µрістіњ дивергенциясы µріс кµзініњ тыѓыздыѓын аныќтайды, оны былай жазамыз:

.

Остроградский - Гаусс өрнегі

Егер дивергенция деп т±йыќ бет арќылы µтетін векторлыќ аѓынныњ, сол бет шектейтін кµлемге ќатынасыныњ, кµлем нольге ±мтылѓандаѓы шегін айтатын болсаќ, ол мына µрнекпен жазылады:

(3.1)

Б±л µрнектіњ сол жаѓындаѓы векторлыќ аѓын – функцияныњ µсімшесін немесе туындысын береді, яѓни:

. (3.2)

3.1 жєне 3.2 µрнектерді салыстыра отырып, элементар кµлемнен таралатын векторлыќ аѓынды дивергенция арќылы µрнектейміз:

Егер б±л тењдіктіњ екі жаѓын да интегралдайтын болсаќ, онда б‰кіл кµлемнен таралатын аѓынды аныќтаймыз:

. (3.3)

Б±л кµлемнен таралѓан векторлыќ аѓын міндетті т‰рде µзін шектеп т±рѓан т±йыќ бетті тесіп µтеді, онда ол мына µрнекпен аныќталады:

. (3.4)

3.3 жєне 3.4 µрнектердіњ оњ жаѓы бір ѓана векторлыќ аѓынды µрнектеп т±рѓандыќтан, оларды тењестіре отырып, мынандай интегралдыќ тењдік аламыз: . (3.5)

Б±л µрнекті Остроградский - Гаусс µрнегі дейміз. Ол математикалыќ т‰рде кµлем бойынша алынѓан интегралды бет бойынша алынѓан интегралмен байланыстырып т±р, яѓни дивергенциядан алынѓан кµлемдік интеграл, сол кµлемді шектейтін беттен µтетін µріс аѓынына тењ.

Б±л µрнекті скалярлы жєне векторлы т‰рде жазуѓа болады.

Остроградский - Гаусс µрнегініњ векторлы жазылымы: Ол үшін соңғы (3.5) өрнектің оң жағын түрлендіреміз. Егер интеграл астында вектор ағыны тұрғанын ескерсек, онда оны скалярлы ағын ретінде қарастырып, Остроградский - Гаусс µрнегініњ векторлы жазылымын былай бейнелейміз:

.

Остроградский - Гаусс µрнегініњ скалярлы жазылымы: Оны алу ‰шін 3.5- µрнектіњ екі жаѓындаѓы интеграл астындаѓы м‰шелерді ашып жазамыз:

1)

2)

Онда Остроградский - Гаусс µрнегініњ скалярлы жазылымы былай µрнектеледі:

. (3.6)

Стокс өрнегі. Векторлы µрісте баѓытталѓан т±йыќ ќисыќты ќарастырамыз. Егер оныњ баѓыты б±ранданыњ оњ айналымымен баѓыттас болса, онда б±ранданыњ ілгері ќозѓалысы – ќисыќ сызыќты шектейтін бетке т‰сірілген нормаль баѓытын аныќтайды. (1-сурет)

Вектордан ќисыќ т±йыќ сызыќ бойынша алынѓан интеграл вектор циркуляциясы деп аталынып, мына т‰рде µрнектеледі:

. (3.7)

Циркуляцияныњ аддивтивті ќасиеті бар. Оны былай т‰сінуге болады: егер баѓытталѓан ќисыќ сызыќ т±йыќтап т±рѓан бетті екіге бµлетін болсаќ, онда жалпы циркуляция вектордыњ екіі циркуляциясыныњ ќосындысынан т±рады, яѓни . Олай болса, бірлік бетке келетін циркуляция тыѓыздыѓы туралы ±ѓым енгіземіз, ол мына µрнекпен аныќталады: ;

Сонымен ќатар циркуляция тыѓыздыѓы дегеніміз – ќ±йын тыѓыздыѓы, ол векторлы µрістіњ роторы арќылы аныќталады. Ќарастырылып отырѓан бетке нормаль баѓыттаѓы ротор векторыныњ ќ±раушысы былай аныќталады:

(3.8)

Б±л тењдіктен жалпы циркуляцияны интегралдау арќылы табамыз:

Г . (3.9)

7жєне 9 тењдіктерді салыстыра отырып мынандай интегралдыќ тењдеу аламыз:

. (3.10)

Б±л µрнекті Стокс µрнегі дейміз.

Егер ротордыњ векторлыќ шама екенін ескерсек, онда (3.10) µрнектіњ оњ жаѓы ротор векторыныњ аѓынын кµрсетіп т±р ады.

Олай болса, вектордыњ т±йыќ ќисыќ бойынша циркуляциясы сол вектордыњ роторының осы ќисыќпен шектелетін беттен аѓынына тењ.

Сонымен Стокс өрнегі қисық сызықты интегралды беттік интегралмен байланыстырады.

Б±л Стокс µрнегі векторлыќ жєне скалярлыќ т‰рде жазуѓа болады.

Стокс µрнегінің векторлыќ жазылын алу: Бағытталған кесінді бөлігін вектор ретінде қарастырамыз, ол проекциялары арқылы былай жазылады: , онда интеграл астындағы шаманы екі вектордың скалярлы көбейтіндісі арқылы жазамыз. = .

Оң жақтағы интеграл астын да түрлендіреміз:

Ротор вектор болғандықтан құраушылары арқылы былай жазылады:

.

Бет элементіне бағыт берсек, ол проекциялары арқылы былай жазылады:

, мұндағы

, , ,

Олай болса :

.

Онда Стокс өрнегінің векторлық жазылымы былай өрнектеледі:

.

Скалярлы т‰рдегі Стокс µрнегініњ жазылымы: Ол үшін(10) өрнек астындағы мүшелерді ашып көрсетеміз:

1. ;

2.

Онда Стокс µрнегініњ скалярлы жазылымы былай µрнектеледі:

=

Сонымен Стокс µрнегі де, Остроградский – Гаусс µрнегі де векторлыќ аѓынды ќарастырады. Остроградский – Гаусс µрнегі жалпы т±йыќ бет арќылы µтетін аѓынды ќарастырса, Стокс µрнегі т±йыќ контурмен шектелген беттіњ бµлігінен µтетін аѓынды ќарастырады.