2 Био совар заңының интегралды жазылымын алу

rot = . (6.13)

Егер (6.13) теңдеудің екі жағынан да бет бойынша интеграл алсақ, онда:

= .

Бұл интегралдың сол жағы Стокс теоремасы бойынша магнит өрісінің кернеулігінің циркуляциясын береді, ал оң жағы ток шамасын көрсетеді. Олай болса:

= . (6.14)

Бұл Био-Савар заңының интегралды жазылымы.

Тұрақты ток тудыратын магнит өрісі құйынды болғанмен, тогы жоқ нүктелерде ол құйынсыз. Сондықтан оны скалярлы потенциал арқылы да зерттеуге болады. Бұл жағдайда магнит өрісінің кернеулігін былай көрсетеміз:

= - grad U . (6.15)

Егер бұл теңдіктің екі жағынан да дивергенция алсақ, онда мынандай жазылым аламыз:

div = - = - = 0 немесе U = 0.

Соңғы теңдіктен скалярлы потенциалдың Лаплас теңдеуін қанағаттандыруы қажет екені байқауға болады.

3

k=

div

div

24 Билет

1 био совар заңының дифференциалды жазылымын алу Векторльқ потенциал.

Магнит өрісін Био-Савар заңынан басқа векторлық потенциал арқылы да есептеуге болады. Ол үшін магнит өрісіні кернеулігін потенциал арқылы өрнектейді, яғни : = rot . (6.9)

Векторлық потенциал өрісті зерттеуін жеңілдететін көмекші векторлық функция. Сонымен қатар соңғы өрнекті векторлық потенциалды өріс кернеулігі арқылы өрнектеу деп те түсінуге болады. Сондықтан магнит өрісі кернеулігі электр тогы арқылы анықталғандықтан, векторлық потенциал да ток арқылы мына өрнектермен анықталады:

= ; (6.10) = ; (6.11) = ; (6.12).

Векторлық потенциал да скалярлы потенциал тәрізді Лаплас немесе Пуассон теңдеулерін қанағаттандырады, тек айырмашылығы көздері векторлық шама болады:

=

немесе декартты координаталар системасында вектор проекцияларына арналған теңдеулер былай жазылады: А_х =

= = .

Сонымен қатар (6.9) өрнектің екі жағынан да құйын аламыз, онда rot = rot rot . Өрнектің оң жағы векторлық ереже бойынша жіктеледі:

rot rot = grad div - , егер өрістің түтікшелі екенін еске алсақ div = 0 , онда :

rot =- - немесе rot = . (6.13)

2 Дипольдың құрылымын қарастыру

Диполь потенциалы

С

Сурет 1.

урет 6.

Диполь өрісін жеке қарастырамыз (Сурет 6). Шамасы бірдей, бірақ таңбалары қарама-қарсы m және -m массаларды М₁ , М₂ нүктелеріне орналастырамыз, мұндағы:

- оң полюстегі m -нүктелiк көздiң қуаты;

- екi полюс арақашықтығы d –диполь ұзындығы;

- екі полюсті қосатын түзу сызық - диполь өсі, ол терiс массадан оң массаға бағытталған вектор, оның бойымен алынған бірлік вектор деп белгіленеді ;

- диполь өсін тең бөлетiн М нүктесi - диполь центрi;

- диполь өсіне перпендикуляр, М нүктесі арқылы өтетін жазықтық – экваториалды жазықтық.

Бұл массалардың P нүктесiнде тудыратын потенциалын қарастырамыз. r₁, r₂ – P нүктесiнен терiс және оң масса орналасқан М₂, М₁-нүктесiне дейiнгi қашықтық, М нүктесiне дейiнгi арақашықтығы r,

Мұндай екі нүктелік массалар тудыратын Р нүктесіндегі тартылыс потенциалы – нүктелік массалар системасының потенциалы ретінде анықталады :

. (12.9)

(9)теңдiктiң оң жағын d -көбейтiп, бөлсек мынандай өрнек аламыз;

, (12.10)

бұл өрнектегi жақша ішіндегі шама функциясының бағыты бойынша ұмтылғандағы туындысы деп қарастыруға болады, яғни:

Егер бұл туындыны былай түрлендiрсек:

,

мұндағы:  - r және бағыттары арасындағы бұрыш.

Егер - диполь моментіне тең десек, онда (12.10) теңдеу былай жазылады:

. (12.11)

Бұл потенциал ара қашықтық квадратына керi пропорционал, әрi радиус вектордың диполь моментi бағытынан ауытқу бұрышына тәуелдi.

3

4