21 Билет

1Стокс өрнегі

Векторлы µрісте баѓытталѓан т±йыќ ќисыќты ќарастырамыз. Егер оныњ баѓыты б±ранданыњ оњ айналымымен баѓыттас болса, онда б±ранданыњ ілгері ќозѓалысы – ќисыќ сызыќты шектейтін бетке т‰сірілген нормаль баѓытын аныќтайды. (1-сурет)

Вектордан ќисыќ т±йыќ сызыќ бойынша алынѓан интеграл вектор циркуляциясы деп аталынып, мына т‰рде µрнектеледі:

. (3.7)

Циркуляцияныњ аддивтивті ќасиеті бар. Оны былай т‰сінуге болады: егер баѓытталѓан ќисыќ сызыќ т±йыќтап т±рѓан бетті екіге бµлетін болсаќ, онда жалпы циркуляция вектордыњ екіі циркуляциясыныњ ќосындысынан т±рады, яѓни . Олай болса, бірлік бетке келетін циркуляция тыѓыздыѓы туралы ±ѓым енгіземіз, ол мына µрнекпен аныќталады: ;

Сонымен ќатар циркуляция тыѓыздыѓы дегеніміз – ќ±йын тыѓыздыѓы, ол векторлы µрістіњ роторы арќылы аныќталады. Ќарастырылып отырѓан бетке нормаль баѓыттаѓы ротор векторыныњ ќ±раушысы былай аныќталады:

(3.8)

Б±л тењдіктен жалпы циркуляцияны интегралдау арќылы табамыз:

Г . (3.9)

7жєне 9 тењдіктерді салыстыра отырып мынандай интегралдыќ тењдеу аламыз:

. (3.10)

Б±л µрнекті Стокс µрнегі дейміз.

Егер ротордыњ векторлыќ шама екенін ескерсек, онда (3.10) µрнектіњ оњ жаѓы ротор векторыныњ аѓынын кµрсетіп т±р ады.

Олай болса, вектордыњ т±йыќ ќисыќ бойынша циркуляциясы сол вектордыњ роторының осы ќисыќпен шектелетін беттен аѓынына тењ.

Сонымен Стокс өрнегі қисық сызықты интегралды беттік интегралмен байланыстырады.

Б±л Стокс µрнегі векторлыќ жєне скалярлыќ т‰рде жазуѓа болады.

Стокс µрнегінің векторлыќ жазылын алу: Бағытталған кесінді бөлігін вектор ретінде қарастырамыз, ол проекциялары арқылы былай жазылады: , онда интеграл астындағы шаманы екі вектордың скалярлы көбейтіндісі арқылы жазамыз. = .

Оң жақтағы интеграл астын да түрлендіреміз:

Ротор вектор болғандықтан құраушылары арқылы былай жазылады:

.

Бет элементіне бағыт берсек, ол проекциялары арқылы былай жазылады:

, мұндағы

, ,

Олай болса :

.

Онда Стокс өрнегінің векторлық жазылымы былай өрнектеледі:

.

Скалярлы т‰рдегі Стокс µрнегініњ жазылымы: Ол үшін(10) өрнек астындағы мүшелерді ашып көрсетеміз:

1. ;

2

Онда Стокс µрнегініњ скалярлы жазылымы былай µрнектеледі:

=

Сонымен Стокс µрнегі де, Остроградский – Гаусс µрнегі де векторлыќ аѓынды ќарастырады. Остроградский – Гаусс µрнегі жалпы т±йыќ бет арќылы µтетін аѓынды ќарастырса, Стокс µрнегі т±йыќ контурмен шектелген беттіњ бµлігінен µтетін аѓынды ќарастырады.

2Көлемдік массаның логорифмдік тартылыс потенциалы

У-осi бағыты бойымен орналасқан, қимасы S болатын екi өлшемдi дене берiлсiн. Көлемдiк масса тығыздығы S-қима бойынша ғана өзгередi. Олай болса, қиманы шексiз көп материалдық сызықтарға бөлуге болады, ол сызықтар бағыты дененiң бағытымен сәйкес. Егер dS-массаның таралу тығыздығы десек, онда көлемдік масса тудыратын тартылыс потенциалын сызықтық массалар потенциалының қосындысы ретінде аламыз. Ал ол қосынды интеграл арқылы табылады, онда (13.3) теңдеу былай жазылады:

. (13.4)

Бұл өрнек шексiз екi өлшемдi дененiң логарифмдік тартылыс потенциалын анықтайды.

3

div =

=1

div =1 =3