3Векторлық өрістің роторын есептеу

;

Ответ:

10Билет

1Дипольдің және көлемдік магниттелген дененің потенциалы

Диполь потенциалы

С

Сурет 1.

урет 6.

Диполь өрісін жеке қарастырамыз (Сурет 6). Шамасы бірдей, бірақ таңбалары қарама-қарсы m және -m массаларды М₁ , М₂ нүктелеріне орналастырамыз, мұндағы:

- оң полюстегі m -нүктелiк көздiң қуаты;

- екi полюс арақашықтығы d –диполь ұзындығы;

- екі полюсті қосатын түзу сызық - диполь өсі, ол терiс массадан оң массаға бағытталған вектор, оның бойымен алынған бірлік вектор деп белгіленеді ;

- диполь өсін тең бөлетiн М нүктесi - диполь центрi;

- диполь өсіне перпендикуляр, М нүктесі арқылы өтетін жазықтық – экваториалды жазықтық.

Бұл массалардың P нүктесiнде тудыратын потенциалын қарастырамыз. r₁, r₂ – P нүктесiнен терiс және оң масса орналасқан М₂, М₁-нүктесiне дейiнгi қашықтық, М нүктесiне дейiнгi арақашықтығы r,

Мұндай екі нүктелік массалар тудыратын Р нүктесіндегі тартылыс потенциалы – нүктелік массалар системасының потенциалы ретінде анықталады :

. (12.9)

(9)теңдiктiң оң жағын d -көбейтiп, бөлсек мынандай өрнек аламыз;

, (12.10)

бұл өрнектегi жақша ішіндегі шама функциясының бағыты бойынша ұмтылғандағы туындысы деп қарастыруға болады, яғни:

Егер бұл туындыны былай түрлендiрсек:

,

мұндағы:  - r және бағыттары арасындағы бұрыш.

Егер - диполь моментіне тең десек, онда (12.10) теңдеу былай жазылады:

. (12.11)

Бұл потенциал ара қашықтық квадратына керi пропорционал, әрi радиус вектордың диполь моментi бағытынан ауытқу бұрышына тәуелдi.

Магниттелген көлемдiк дененiң потенциалы

Бiртұтас магниттелген дененi - магниттiк өстерi реттелiп орналасқан диполь ретiнде қарастырамыз. Элементар көлемге сәйкес магниттiк моменттi мына өрнекпен анықтаймыз: d= jdV, мұндағы j- магниттелу векторы.

Егер әрбiр көлем элементiн, яғни элементар көлемдi диполь деп қарастырсақ, онда оның тудыратын потенциалы былай жазылады:

Егер бұл өрнектi көлем бойынша интегралдайтын болсақ, онда магниттелген көлемдiк массаның P нүктесiнде тудыратын потенциалын анықтаймыз:

. (12.12)

2Максвельдің 1теңдеуі

а) Максвеллдің I теңдеуі

Ол Био-Савар заңын айнымалы токқа қолданудан шығады. Максвеллдің тұжырымдауы бойынша ығысу тогы да өткізгіштік ток тәрізді магнит өрісін туғызады. Олай болса, магнит өрісінің күш сызықтары тек токты өткізгішті ғана қамтымайды, конденсатор қабаттары арасындағы айнымалы электр өрісін де қамтиды. Бұл тұжырым практикада негізінде дәлелденді.

Ығысу тогы Джоуль-Ленц заңы бойынша жылулық эффект бермейтін болғандықтан, оны магнит өрісі пайда болуымен анықтайды. Осыған байланысты магнит өрісінің кернеулігінің циркуляциясын толық ток арқылы анықтаймыз. Тұрақты ток үшш Био-Савар заңының интегралдық жазылымы мына өрнекпен жазылыда:

; (7.5)

Бұл өрнектегі I —ток, оны толық токпен, яғни өткізгіштік және ығысу токтарының қосындысымен алмастырамыз. Толық ток мына интеграл арқылы анықталады:

J = .

Онда (7.5) теңдік мына түрде жазылады:

. (7.6)

Екінші (7.6) теңдеудің сол жағындағы интегралды Стокс теңдеуі бойынша беттік интегралға айналдыруға болады, яғни:

ds,

онда (6) теңдік былай жазылады;

ds = . (7.7)

Бүл теңдік кез-келген контур үшін орындалады, астындағы шамалар өзара тең болса, яғни:

=

Нормальдық кез келген бағыты үшін бүл векторлар өзара тең болса,онда векторлар да өзара тең, яғни:

rot = ( + (7.8)

(7.8)-өрнек Био-Савар заңының айнымалы ток үшін дифференциалдық жазылымы, немесе Максвеллдіц бірінші теңдеуі.

Бүл теңдеудің мынандай физикалық мағнасы бар:

магнит өрісін тек ғана қозғалыстағы зарядтар тудырмайды, уақыт бойынша өзгермелі электр өрісі де тудырады.

3

Ответ: