2. Векторлық өрістің роторын есептеу

;

Ответ:

9билет

1 Көлемдік массаның тартылыс потенциалы

Тартылыс тудыратын система- үздіксіз материалды дене (сурет 3), яғни облысында массалардың біртұтас таралымы бар болсын дейміз. Егер массалардың көлемдегі таралу тығыздығын - деп белгілесек , онда элементар ( ) көлемдегі массалар таралымы мына өрнекпен анықталады: .

Сурет 3.

Бұл жағдайда әрбір элементар көлемді материалды нүкте ретінде қарастыратын болсақ, онда оның бірлік массамен тартылыс потенциалы былай өрнектеледі: . Бұл өрнектің екі жағынан да интеграл алатын болсақ, онда көлемдік массаның тартылыс потенциалын аламыз:

. (12.5)

Көлемдік массаның тартылыс потенциалының мынандай қасиеттері бар:

1

Срет 3.

) Р нүктесі облысының ішінде жатқан жағдайда да көлемдік массаның тартылыс потенциалы ешқашан шексіздікке айналмайды. 2) Бірлік массасы бар Р нүктесі тартылыс тудыратын массадан тысқары орналасқан жағдайда көлемдік массаның тартылыс потенциалы Лаплас теңдеуін қанағаттандырады:

0,

3) Р нүктесі облысының ішінде жатқан жағдайда көлемдік массаның тартылыс потенциалы Пуассон теңдеуін қанағаттандырады:

- 4G.

4. Көлемдік массаның сызықтық өлшемдері Р нүктесіне дейінгі арақашықтықпен салыстырғанда әлдеқайда төмен болса, онда оның тартылысы нүктелік массаның тартылысындай болады.

5. Тартылыс потенциалы өзінің ең жоғарғы және төменгі мәндеріне массалар таралған облысын шектейтін бетте ие болады.

Көлемдік массаның тартылыс күшін тартылыс потенциалы арқылы өрнектейміз, ол үшін алдымен күш проекциялары жазамыз:

. , , ,

онда тартылыс күшінің векторлық жазылымы мынандай түрге ие болады: .

2 Айнымалы тоқ үшін кирхгофтың 1заңы,өткізгіштік тоқ

Айнымалы ток үшін Кирхгофтың 1 заңының дифференциалды жазылымы .

Егер ығысу тогы деп электр өрісінің уақыт бойынша өзгерісін түсінсек, онда өткізгіште де, диэлектриктерде де электр өрісі уақыт бойынша өзгерсе, онда ығысу тогы пайда болады.

Егер кез келген диэлектриктің де электр өткізгіштігі бар екенін ескерсек, онда ығысу тогы мен қатар, өткізгіштік ток та қатар жүреді. Ал өткізгіштерде бүл токтар әрқашанда қатар болады.

Сондықтан өткізгіштік ток пен ыгысу тогының тығыздьқтарының қосындысын -тольқ ток тығыздығы немесе толық ток деп атаймыз.

Онда Крихгофтың I заңы дифференциалдық түрде толық ток үшін былай жазылады:

div = - ;

заряд тығыздығын статикалық өріс көзінанықтайтын теңдік арқылы былай өрнектейміз: div = 4 , ,

онда жоғарыда көрсетілген Крихгофтың I заңы былай жазылады:

div = - ; (7.3)

Теңдіктe ығысу векторынан уақыт бойынша туынды толық түрде емес, жеке туынды түрде алынып тұр, себебі бұл вектор (D) координатаға да тәуелді. Соңғы теңдікті өзгертіп, яғни оң жағындағы жазылымдағы дивергенция мен туынды орнын алмастырып, оны теңдіктің сол жағына шығарып, дивергенциялар қосындысын, векторлар қосындысының дивергенциясымен алмастырамыз:

div + = 0.

div ( + = 0 (7.4)

Сонымен, соңғы теңдікте толық ток тығыздығынан алынған дивергенция нольге тең болып тұр, олай болса, айнымалы токтың да, толық токтың да күш сызьқтары тұйықталған, өріс түтікшелі.

Токты анықтауда зарядтан (Q ) электрлік индукцияға (D) көшудің физикалық мэні бар: мұнда ток конденсатор қатпар арасындағы электр өрісінің уақыт бойынша өзгерісімен сипатталып тұр, себебі : ; олай болса (7.2) теңдеу конденсаторға арналған Кирхгофтың I заңын береді.

(7.2) теңдеудің сол жағын да конденсаторға ағып келген ток( ) тұр, Максвелл теориясы бойынша бұл- өткізгіштік ток, ал оң жағында конденсатор қатпары арасындағы диэлектрик бойынша ағып өтетін ығысу тогы тұр. Мұндағы: -электрлік ығысу векторы деп аталынады, ал оның уақыт бойынша туындысы - ығысу тогының тығыздығын береді;

Демек, ток ұғымы туралы жалпы қортынды, айнымалы ток үшін Био-Савар заңын да дифференциалды түрде жазуға мүмкіндік береді.