1БИЛЕТ

1Cкалярлы өріс,оның туындысы(градиент)

Бір ғана физикалыќ шаманың бір дененің бойында әртүрлі мєнге ие болатындығы өріс туралы ұғымның пайда болуына алып келді.

Олай болса, өріс деп белгілі бір физикалыќ шама сәйкес келетін кеңістіктің бір бөлігін айтамыз.

Физикалыќ шамалар скалярлы, векторлы және тензорлы болып үшке бөлінеді, сондыќтан мұндай шамаларға сәйкес келетін өрістер де скалярлы, векторлы және тензорлы болып бөлінеді. Физикалыќ шамалардыњ уаќытќа тєуелді жєне тєуелсіз болуына байланысты бұл өрістердің әрќайсы айнымалы немесе тұраќты болып екіге бөлінеді. Мысалы тұраќты электр тогы тұаќты электр өрісін тудырады, ал айнымалы ток уаќыт бойынша өзгермелі электромагниттік өріс тудырады. Ќатты денелерде туатын деформация тензорлы өріс ќұрайды. Бұл өрісте деформация шамасы ќатты дененің әрбір нүктесінде уаќыт бойынша ғана өзгеріп ќоймайды, бағыты бойынша да өзгереді. Жердің беткі ќабатындаѓы тыѓыздыќтың өзгерісі ең ќарапайым өріс- скалярлы өріс ќұрайды.

Геофизикалыќ барлау - гравибарлау, магниттік барлау, сейсмикалыќ барлау жєне электрлік барлау тєсілдеріне негізделген. Бұл тәсілдер бойынша Жердіњ беткі ќабатында электрлік, магниттік, деформациялыќ µрістер тудырылып, оныњ єртектілігін зерттеуге м‰мкіндік ашылады. Сондыќтан Жердіњ беткі ќабатында туатын µрістер зањдылыѓын зерттеу осы пєнніњ маќсаты болып табылады.

Скалярлы өріс деп әрбір нүктесіне белгілі бір скалярлы шама сәйкес келетін кењістіктің бір бөлігін айтамыз.

Кењістіктіњ кез келген М нүктесі декартты координаталар системасында х,у,z координатасы арќылы немесе радиус векторы арќылы сипатталады. Осыѓан орай, скалярлы µріс тењдеуі координатадан функция ретінде немесе радиус вектордан функция ретінде жазылады.

Б±л µрісте скаляарлы шама бір нүктеден екінші нүктеге µзгеріп отырады, яѓни скалярлы функция координатаѓа тєуелді. Сондыќтан функцияныњ кез келген нүктенің мањындаѓы µзгеру жылдамдыѓын сипаттау үшін функцияныњ туындысы деген ұғым енгіземіз.

Скалярлы функцияныњ туындысы деп оныњ белгілі баѓыттаѓы µсімшесініњ ара ќашыќтыќќа ќатынасыныњ шегін айтамыз:

(1.1)

м±ндаѓы - скалярлы функцияныњ н‰ктелеріндегі мєні. Кењістіктегі єрбір н‰ктеден кез келген баѓыт бойынша туынды алуѓа болады, біраќ функцияныњ µзгеру жылдамдыѓын сипаттау ‰шін бір - біріне перпендикуляр ‰ш баѓытта алынѓан туынды жеткілікті. Декартты координаталар системасында бұл туындылар былай жазылады:

Осы µрістегі бірдей скалярлы мєні бар н‰ктелерді ќосатын болсаќ, онда дењгейлік бетті аламыз.

Екі дењгейлік бет арасындаѓы кењістік дењгейлік ќабат деп аталынады.

Деңгейлік беттердіњ нормаль бойынша араќашыќтыѓы дењгейлік ќабаттыњ ќалыњдыѓы деп аталынады.

Скалярлы µрісті сипаттау үшін деңгейлік беттің кез келген нүктесінен нормаль баѓыт бойынша алынѓан туындыныњ мањызы зор. бетіндегі М нүктесінен нормаль баѓыты жєне кез –келген баѓыты бойынша туынды аламыз. Олар мына өрнектермен аныќталады:.

, (1.2) , (1.3)

егер ±мтылас, онда . Б±л жаѓдайда ‰шб±рышын тікб±рышты деп ќарастырсаќ , онда

демек М кесіндісініњ ±зындыѓы мына µрнекпен аныќталады:

.

Б±л жаѓдайда 3 µрнек мынандай түрде жазылады:

.

Косинус мєні 1 жєне –1 аралыѓында µзгеретінін ескерсек, онда дењгейлік беттіњ кез –келген н‰ктесінен кез келген баѓытта алынѓан туынды - нормаль баѓытта алынѓан туындыдан кем болады. Сондыќтан скалярлы µрістіњ µзгеру жылдамдыѓын µрнектеу ‰шін дењгейлік бетке нормаль баѓыттаѓы туындыны ќарастырамыз. Ол ‰шін градиент деген ±ѓым енгіземіз.

Скалярлы µрістіњ градиенті ретінде дењгейлік бетке нормаль баѓытталѓан векторды аламыз. Вектордыњ сандыќ мєні функцияныњ осы баѓыттаѓы туындысыныњ шамасына тењ, яѓни:

. (1.4)

Вектордыњ баѓыты функцияныњ µсу баѓытымен сєйкес келеді, сондыќтан дењгейлік беттердіњ ењ биік ќабаттарын кµрсетеді.

Градиент векторлыќ шама болѓандыќтан, оныњ кез келген баѓытта проекциясы болады, декартты координаталар системасында градиенттіњ проекциялары функцияныњ сол баѓыттаѓы туындысы арќылы аныќталады:

.

Градиент векторын проекциялары арќылы былай жазуѓа болады:

, (1.5)

м±ндаѓы:

- Гамильтон операторы деп аталынады;

- осьтердегі бірлік векторлар.

Градиент векторыныњ ±зындыѓы – вектордыњ модулі арќылы аныќталады:

. (1.6)

Сонымен скалярлы µрістіњ дењгейлік бетке нормаль бойынша туындысы векторлы µріс тудырады, ол сол µрістіњ дифференциалды сипаттамасы болып есептелінеді.