Спектр турбулентных пульсаций

Спектры турбулентных пульсаций делятся на несколько резко различающихся по своему характеру участков.

Важный вклад в изучение структуры турбулентности был сделан А.Н. Колмогоровым и А.М. Обуховым предложившими теорию локально-изотропной турбулентности. Согласно общим положениям этой теории, совокупность турбулентных возмущений с достаточно малыми масштабами всегда является статистически однородной и изотропной. Статистический режим таких возмущений зависит лишь от средней скорости диссипации механической энергии в теплоту и кинематической вязкости . При этом область совсем малых вихрей, на движение которых непосредственно влияет вязкость, можно выделить в отдельную подобласть, называемую вязким интервалом или интервалом диссипации. Остальную же часть изотропного интервала, где единственным существенным параметром является , называют инерционным интервалом.

Размер неоднородностей, на движение которых оказывают непосредственное влияние вязкие силы, можно оценить на основе размерностей. Из параметров и можно составить единственную комбинацию размерности длины

.(36)

Этот масштаб называют колмогоровским микромасштабом или внутренним масштабом турбулентности. В качестве границ инерционного интервала принимают обычно величину , примерно на порядок большую внутреннего масштаба. Примерно с этого масштаба влияние вязкости становится заметным. Величина , в атмосфере имеет значение в среднем около 1 см.

Понятие инерционного интервала применимо также и к возмущениям поля температуры. Здесь под инерционным интервалом следует понимать интервал масштабов, в котором статистический режим является однородным и изотропным и не зависит ни от конкретных особенностей средних полей и , ни от молекулярных коэффициентов вязкости и теплопроводности.

В силу предположения о локальной изотропии структурная функция имеет вид:

, (37)

где - единичный тензор, а – проекции единичного вектора на координатные оси. Если направить одну из координатных осей вдоль вектора , то получим

,(38)

где – средний квадрат разности проекций скорости на направление, перпендикулярное базе , а – на направление базы. Что касается взаимных структурных функций поля скорости какого-либо скалярного поля (например, температуры), то при выполнении условия несжимаемости и условий локальной изотропии они оказываются тождественно равными нулю(39).

Если жидкость несжимаема, то как нетрудно показать,

(40). (40)

Обычно направление базы совмещают с направлением среднего ветра. При этом условие (40) принимает вид

(41)

Согласно гипотезе А.Н.Колмогорова, структурные функции в инерционном интервале могут зависеть, кроме , только от . Соображения размерности показывают, что в этом случае

, (42)

где – безразмерная константа. Тогда согласно (41)

, (43)

где – так называемая структурная характеристика поля вертикальной компоненты скорости ветра.

Применяя преобразование, обратное преобразованию (уточнить про пространственные спектры) к этим структурным функциям, можно получить одномерные спектры для инерционного интервала

, . (44)

Данное соотношение – так называемый «закон пяти третей» для спектра турбулентности – точно эквивалентно «закону двух третей» для структурных функций, причем

, . (45)

Трехмерный спектр в инерционном интервале дается равенством

,(46)

где . (ссылка из работы)

Таким образом, и спектр, и структурные функции поля скорости ветра в инерционном интервале однозначно определяются величиной и одной из констант, в качестве которой можно выбрать любой из коэффициентов, входящих в (44)(45)

Вообще говоря, можно было бы ожидать, что при наличии термической стратификации архимедовы силы (характеризуемые параметром плавучести ) будут влиять на структуру турбулентности в области всех масштабов, так что теория локально-изотропной турбулентности Колмогорова-Обухова будет применима к атмосферной турбулентности лишь при безразличной стратификации. Однако эксперименты показывают, что одномерные пространственные спектры скорости и температуры ( по горизонтальному направлению, во всяком случае) в области малых масштабов подчиняется «закону пяти третей» даже при неравновесной температурной стратификации.

Со стороны малых масштабов (т.е. больших волновых чисел) к инерционному интервалу примыкает так называемая вязкая подобласть – совокупность наиболее мелкомасштабных возмущений поля скорости, на которые уже непосредственно влияет молекулярная вязкость. В этой подобласти все статистические характеристики поля скорости определяются двумя размерными параметрами и .