Загальне рівняння прямої

 - визначає рівняння прямої як лінію перетину двох непаралельних площин.

Рівняння F(x, y)=0 називається рівнянням лінії  , яка задана на площині відносно системи координат, якщо це рівняння задовольняють координати x та y кожної точки лінії  . Рівняння Ф( )=0 називається рівнянням лінії   в полярних координатах, якщо його задовольняють координати   і   будm-якої точки лінії  .

Нехай залежність між змінними x і y вираженя через третю зміну t, тобто 

x=x (t); y=y(t). Змінна t називається параметром і визначає положення точки на площині. Якщо t змінюється, то точка на площині переміщується, описуючи деяку лінію l. Такий спосіб задання лінії називається параметричним, а наведені вище рівняння – параметричні рівняння лінії l.

Алгебраїчні лінії розрізняються залежно від їх порядку. Ми будемо вивчати лінії першого та другого порядку. Пряма на площині. Різні види рівнянь прямої на площині. Пряма на площині геометрично може бути задана різними способами: точкою і вектором, паралельним даній прямій; двома токами; точкою і вектором, перепендикулярним до даної прямої, тощо. Різним способам завдання прямої відповідають у прямокутній системі координат різні види її рівнянь. 1) Аx+Вy+С=0 – загальне рівняння.  (А,В) – координат вектора нормалі до прямої С – вільний член. а) С=0 Аx+Вy=0 – пряма проходить через початок координат; б) В=0 А≠0; С≠0; Аx+С=0, або x=  - пряма // осі ОУ; с) В=0; А≠0; С=0 Аx=0 або х=0 – рівняння осі ОУ; d) А=0; В≠0; С≠0; Вy+С=0 або у=b  - пряма //осі OX; е) А=0; В≠0; с=0; Вy=0 або у=0 – рівняння осі ОХ. 2) А≠0; В≠0; С≠0  Вy=-С-Аx; все поділимо на В;   або у=Кx+b, де     . ^ Це рівняння прямої з кутовим к оефіцієнтом. В цьому рівнянні   – кутовий коефіцієнт прямої  =tg  (  - кут, який утворює пряма з додатним напрямом осі ОХ.) b – велична відрізка, що його відтинає пряма на осі ОУ. 3) А(х-х_о)+(у-у_о)=0 – рівняння прямої, що проходить через задану точку М_о(х_оу_о), перпендикулярно до нормального вектора  4)  - рівняння прямої, що проходить через точку M_о(х_оу_о) паралельно напрямку вектору  .  Це канонічне рівняння прямої. – параметричні рівняння прямої, де tє(-∞;∞)  У векторній формі ці рівняння  мають вигляд: 6)  - рівняння прямої, що проходить через дві задані точки M₁(х₁у₁) і M₂(х₂у₂)  7)   - рівняння прямої в відрізках на осях; а і в – відрізки, що їх відтинає пряма на координатах осях 0Х та 0У.

8)   - нормальне рівняння прямої, де p>0 – довжина перпендикуляра, проведеного з початку координат на пряму.  -кут нахилу цього перпендикуляру до осі 0Х.  - нормувальний множник. Приклади: Задані точки M₁(1;2) і M₂(-1;0). Записати рівняння прямої, та привести його до різних виглядів. Побудувати пряму: Розв‘язок. Запишемо рівняння прямої, яка проходе через дві точки   Зробивши арифметичні дії у знаменику, отримаємо канонічне рівняння прямої   з нормальним вектором  . Розкривши отриману рівність як пропорцію, отримаємо рівняння у вигляді «з кутовим коефіцієнтом». y=x+1 ;  . Зразу же отримаємо рівняння в загальному вигляді x-y+1=0; Координати напрямного вектора  .

Приведемо останнє рівняння до вигляду «в відрізках на осях»   Знайдемо нормувальний множник: Т.як. с =1, то   Одержимо   - відстань до початку координат. ^ 2.2 Кут між прямими.  Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. а) Нехай прямі l₁ і l₂ задані канонічними рівняннями:   і φ – кут між цими прямими 0< φ<П. Оскільки вектори є напрямними векторами даних прямих, то за формулою векторної алгебри Якщо прямі l₁ і l₂ паралельні, то   теж паралельні, тому їх координати пропорційні, тобто   - умова паралельності прямих. Якщо прямі l₁ і l₂ перпендикулярні, то   теж перпендикулярні і їх сумарний добуток дорівнює нулю, отже m₁ . m₂ + n₁ . n₂=0 – умова перпендикулярності прямих. б) Нехай тепер прямі l₁ і l₂ задані загальними рівняннями. А₁х + В₁у + С₁ = 0 і А₂х + В₂у + С₂ = 0. Тоді кут φ між цими дорівнює куту між їх нормальними векторами   та  . Тоді  1)  2)   - умова паралельності l₁ і l₂  3) А₁ А₂ + В₁ В₂ = 0 - умова перпендикулярності l₁ і l₂  в) Нехай прямі l₁ і l₂ задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами: З рисунка видно, що ; а)  . Зауважимо, що формула містить кут, на який треба повернути пряму ℓ₁ (проти годинної стрілки), щоб вона збіглася з прямою ℓ_{2. б)}  умова паралельності (φ=0 и tgφ=0) ℓ₁ та ℓ_{2 В)}  умова ℓ₁┴ℓ_{2 (} φ= ;  , тобто 1+К₁ ^. К₂=0 )

3. Відстань від точки до прямої. Нехай задамо пряму ℓ рівнянням Аx+Вy+С=0 і точку М₀(x₀;y₀). Відстань d точки М₀ від прямої ℓ дорівнює модулю проекції вектора  , (де М₁(x₁;y₁) – довільна точка прямої ℓ) на напрям нормального вектора  =(А;В).

Приклад. Розв‘язок. Знайти площу квадрата , дві сторони якого лежать на прямих 4х-3у-10=0 і 8х-6у+15=0.  Оскільки заданні прямі паралельні, то довжину d сторони квадрата можна знайти як відстань від довільної точки однієї прямої до другої прямої. Знайдемо яку-небудь точку на першій прямій. Нехай x=1, тоді 2 ^. 1-3у-10=0; у=-2. Отже, точка М₀(1;-2) належіть першій прямій. Тоді знайдемо відстань від т. М₀ до другої прямої Площа квадрату S=d²= ед.².