Виділення області з одним коренем

Наступний крок - виділення області з єдиним коренем. Характерною ознакою існування кореня на певному інтервалі те, що функція має на кінцях цього інтервалу різні знаки. Тут існує дві небезпеки. Така ж ознака властива для функцій з розривами. Наприклад, функція

F(x)=1/1+x

має різні знаки на кінцях інтервалу [0,2], але не має на цьому інтервалі кореня. Для виключення таких особливостей потрібен детальніший аналіз.

Інша небезпека в тому, що при різних знаках функції на кінцях інтервалу, вона може мати на цьому інтервалі непарне число коренів, більше від одиниці. В такому разі можна пропустити кілька коренів. У разі парного числа коренів на інтервалі функція має на його кінцях однаковий знак, й існує небезпека пропустити всі корені взагалі.

Практично виділення інтервалу з одним коренем проводиться

методом табуляції з кроком, достатньо грубим, щоб не обчислювати функцію надто багато разів, але водночас достатнім для того, щоб не пропустити корінь.

Алгоритм уточнення кореня

Ізолювавши інтервал, на якому існує один корінь, необхідно вибрати конкретний алгоритм знаходження кореня із заданою точністю. Алгоритми уточнення коренів поділяються на дві категорії - алгоритми звуження інтервалу та ітераційні алгоритми. Вибір алгоритму для чисельного знаходження кореня проводиться з урахуванням його ефективності. Алгоритм повинен проводити якомога менше обчислень функції, тобто працювати швидко, але, водночас, бути простим при програмуванні й застосуванні. Ітераційні алгоритми потребують перевірки на збіжність. Існує також велика кількість різноманітних комбінованих методів.

Звуження інтервалу

До методів звуження інтервалу належать, зокрема метод дихотомії та метод хорд.

Метод дихотомії, відомий також під назвами метод бісекції або метод ділення навпіл - найпростіший, надійний, але порівняно повільний метод. Суть методу в тому, що інтервал ділиться навпіл, обраховується значення функції в середній точці, й порівнюється її знак зі знаками функції на

кінцях інтервалу. Така процедура дозволяє виділити наполовину менший інтервал із різними знаками функції на його кінцях. Її повторяють доти, доки довжина інтервалу не стане меншою від заданої точності.

Ефективніший - метод хорд. При його застосуванні точка всередині інтервалу вибирається з врахуванням абсолютних значень функції на його кінцях

Алгебраїчні рівняння

Алгебраїчне рівня́ння, також алгебричне рівняння — рівняння  виду

P(x₁, x₂,..,x_n)=0

де Р — многочлен від змінних x₁, ..., x_n. Ці змінні називають невідомими.

Впорядкований набір чисел a₁, ..., a_n задовольняє цьому рівнянню, якщо при заміні x₁ на a₁, x₂ на a₂ і так далі отримується правильна числова рівність (наприклад, впорядкована трійка чисел (3, 4, 5) задовольняє рівнянню х² + у² = z², оскільки 3² +4² = 5²). Число, що задовольняє алгебричне рівняння з одним невідомим, називають коренем цього рівняння. Множина всіх наборів чисел, що задовольняють дане рівняння, є множиною розв’язків цього рівняння. Два алгебричні рівняння, що мають одну й ту ж множину розв’язків, називаються рівносильними.

Степенем многочлена Р називається степінь рівняння Р(х₁, … , х_n) = 0. Наприклад, 3х — 5у + z = с — рівняння першого степеня, х² + у² = z² — другого степеня, а х⁴ — Зх³ + 1 = 0 — четвертого степеня. Рівняння першого степеня називають також лінійними. Рівняння вищого степеня називають нелінійними. Алгебричне рівняння з одним невідомим має скінченну кількість коренів, а множина розв’язків алгебричного рівняння з великою кількістю невідомих може бути нескінченною множиною наборів чисел. Тому здебільшого розглядають не окремі алгебричні рівняння з n невідомими, а системи рівнянь і шукають набори чисел, які одночасно задовольняють всі рівняння цієї системи. Сукупність всіх таких наборів утворює множину розв’язків системи. Наприклад, множина розв’язків системи рівнянь

x ²+y²=10

x²+y²=8