Розв'язок системи рівнянь

Розв'язати систему рівнянь – означає знайти всі її розв'язки або довести, що розв’язків немає.

Якщо система має скінченне число розв’язків, то вона називається визначеною.

Якщо система має нескінченну множину розв’язків, то система називається

невизначеною.

Дві системи називаються рівносильними, якщо вони мають однакову множину розв’язків.

Якщо система із n лінійних рівнянь містить n невідомих, то можливі такі три випадки:

- Система не має розв’язків;

- Система має тільки один розв'язок;

- Система має нескінченно багато розв’язків.

истема 

а₁+b₁y=c₁ ; a₂+b₂y=c₂

Не має розв'язків, якщо 

Має єдиний розв'язок, якщо 

Має нескінченне число розв'язків, якщо 

Приклад: 

1.  3x-4y=15, 6х-8у=11.

 – розв'язків немає. 

2.  3x-4y=13, х+у=9.

 – єдиний розв'язок (7; 2); 

3.  3x-4y=15, 6х-8у=30.

 – нескінченно багато розв'язків.

Нелінійні рівняння

Алгебраїчним нелінійним рівнянням степеня n називається рівняння типу

P_n(x)=0

Аналітичний метод

Аналітичні методи розв'язування нелінійних рівнянь існують для

обмеженого кола задач. Алгебраїчні рівняння можуть бути розв'язані в квадратурах, якщо їхній степінь не перевищує 4, тобто розв'язуються квадратні рівняння, кубічні рівняння і рівняння четвертого степеня. Аналітично розв'язується також значна кількість тригонометричних рівнянь.

Метод вгадування і перевірки

Іноді корінь рівняння можна вгадати. Зазвичай вгадування ґрунтується на певному додатковому знанні про задачу, наприклад, про симетрію функції. Вгаданий розв'язок потрібно підставити в рівняння й перевірити його справедливість або несправедливість.

Метод табуляції

Корінь рівняння можна знайти з певною точністю, якщо побудувати таблицю значень функції в залежності від значень аргументу. Такий метод у багатьох випадках дуже неефективний, бо вимагає великого числа обчислень. З іншого боку, функція може бути заданою таблично, наприклад, як результати вимірювань в залежності від параметра. Тоді знаходження кореня зводиться до аналізу значень, а його уточнення до інтерполяції між найближчими до нуля значеннями.

Графічний метод

Графічний метод зводиться до побудови графіка функції й візуального визначення точки, де вона перетинає вісь ординат. Іноді побудова графіка функції F(x) складна, але рівняння можна переписати у вигляді

F(x)=G(x)

де f(x) та g(x) - функції з простими графіками. Тоді графічний метод зводиться до знаходження точки перетину двох функцій. Наприклад, графік функції e^-x-x=0  побудувати складно, тоді як графіки функцій f(x)=e^-x  та g(x)=x=0 прості. Побудувавши їх можна переконатися, що криві перетинаються.

Графічний метод особливо ефективний при якісному аналізі рівняння, коли потрібно визначити, чи існує корінь взагалі, або число можливих коренів.

Чисельний метод

Для складних функцій застосовуються чисельні методи. Знаходження чисельного розв'язку можливе з певною точністю, тобто зводиться до визначення інтервалу, меншого від наперед заданого числа, в якому функція має принаймні один корінь.

Розв'язування починається з аналізу задачі, при якому потрібно визначити кількість і якість коренів. Задача знаходження коренів парної кратності потребує окремого розгляду, тому надалі мова йтиме про прості корені або корені непарної кратності.