4. Начало формы

5. Конец формы

Рішення диференціальних рівнянь

Рівняння, що зв'язує незалежну змінну, шукану функцію і деяку кількість її похідних, тобто рівняння виду

F(x,y,y') = 0

називається звичайним диференціальним рівнянням n-го порядку.

Наприклад, вирішити диференціальне рівняння

1. Загальний вигляд лінійного диференціального рівняння першого порядку такий: y ‘+ p (x) * y = f (x), де y — невідома функція, а p (x) і f (x) — деякі задані функції. Вони вважаються безперервними в тій області, в якій потрібно проінтегрувати рівняння. Зокрема, вони можуть бути і константами.

2. Якщо f (x) ≡ 0, то рівняння називають однорідним, якщо ні — то, відповідно, неоднорідним.

3. Лінійне однорідне рівняння може бути вирішено методом розділення змінних. Його загальний вигляд: y ‘+ p (x) * y = 0, отже: dy / dx =-p (x) * y, звідки випливає, що dy / y =-p (x) dx.

4. Інтегруючи обидві частини отриманого рівності, отримуємо:

5. ∫ (dy / y) = — ∫ p (x) dx, тобто ln (y) = — ∫ p (x) dx + ln (C) або y = C * e ^ (- ∫ p (x) dx) ).

6. Рішення неоднорідного лінійного рівняння можна вивести з рішення відповідного однорідного, тобто того ж самого рівняння з відкинутої правою частиною f (x). Для цього потрібно замінити константу C у вирішенні однорідного рівняння невідомою функцією φ (x). Тоді рішення неоднорідного рівняння буде представлено у вигляді: y = φ (x) * e ^ (- ∫ p (x) dx)).

7. Диференціюючи це вираз, отримаємо, що похідна від y дорівнює: y ‘= φ’ (x) * e ^ (- ∫ p (x) dx) — φ (x) * p (x) * e ^ (- ∫ p (x) dx). Підставивши знайдені вирази для y і y ‘у вихідне рівняння і спростивши отримане, легко прийти до результату: dφ / dx = f (x) * e ^ (∫ p (x) dx).

8. Після інтегрування обох частин рівності воно отримує вигляд: φ (x) = ∫ (f (x) * e ^ (∫ p (x) dx)) dx + C1. Таким чином, шукана функція y виразиться у вигляді: y = e ^ (- ∫ p (x) dx) * (C + ∫ f (x) * e ^ (∫ p (x) dx)) dx).

9. Якщо прирівняти постійну C нулю, то з виразу для y можна отримати приватне рішення заданого рівняння: y1 = (e ^ (- ∫ p (x) dx)) * (∫ f (x) * e ^ (∫ p (x) dx)) dx). Тоді повне рішення можна буде висловити у вигляді: y = y1 + C * e ^ (- ∫ p (x) dx)).

10. Іншими словами, повне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку дорівнює сумі його приватного рішення і спільного рішення відповідного однорідного лінійного рівняння першого порядку

Лінійні рівняння

Лінійне рівняння з однією змінною - рівняння виду ax = b, де a і b – деякі числа, x – змінна.

Розв’язки рівняння ax=b:

Лінійне рівняння з двома змінними  називаються два або декілька рівнянь, у яких потрібно знайти всі спільні розв'язки. 

Приклад:

2x-3y=9, 3х+2у=7.

Рівняння системи записуються стовпчиком і об’єднуються фігурною дужкою. Розв'язками такої системи є множина упорядкованих пар чисел (х; у).

Система рівнянь називається лінійною, якщо всі рівняння, що входять до системи, є лінійними. Приклад: пара чисел (3; -1) є розв'язком системи: 

2x-3y=9, 3х+2у=7.

Систему двох лінійних рівнянь з двома змінними записують у такому вигляді:

а₁+b₁y=c₁ ; a₂+b₂y=c₂