Міністерство освіти і науки України К І С І Т К Н Е У Імені В.Гетьмана Метод Хорд та Метод Дотичних Курсовий проект з предмету: " Алгоритмізація та програмування ". Керівник Карлюченко О.Г. Виконавець ст. Німенко М.Б. „Допущено до захисту” зал книжка 134 _______________________ гр. 391 «____»________________200_р. _______________________ (підпис виконавця) Захищено з оцінкою «___»_____________200_р. _________________________ (оцінка) «___»________________200_р. Члени комісії: __________________________ _______________________ __________________________ _______________________ КІСІТ КНЕУ.080405.009 ПЗ

Зміст

Кісіт кнеу

Спеціальність 5.080405 “ Обслуговування програмних систем і комплексів ”

Дисципліна “Алгоритмізація та програмування”

Курс III Група 391 Семестр 5

Завдання на курсовий проект студента

Німенко Максима Борисовича

( прізвище, ім’я, по батькові )

1. Тема проекту Розв’язування рівняння f(x) методо хорд та дотичних

2. Термін захисту розробленого проекту 17 квітня 2013 р.

3. Вимоги до проекту :

4. Зміст пояснювальної записки ( перелік питань, які підлягають розробці)

вступ ; аналіз підприємства;

технічне завдання;

постановка задачі; функціональне забезпечення;

інформаційне забезпечення; програмне забезпечення;

руководство користувача та програміста; лістинг програми.

6. Дата видачі завдання 12 жовтня 20013 р.

Календарний план

№

п/п Назва етапів курсового проекту Термін Примітки

1 Мета та цілі курсового проекту 09.09.2013

2 Зміст курсового проекту 16.09.2013

3 Аналіз та розподіл диферинційованих індивідуальних завдань 23.09.2013

4 Загальні вимоги до текстових документів 30.09.2013

5 Держстандарти 2.104-68 та 2.105-95 06.10.2013

6 Обов’язкові елементи (модулі) у рішенні задач 13.10.2013

7 Створення заставки задачі 20.10.2013

8 Організація основного меню задачі 27.10.2013

9 Інформаційне діалогове меню задачі 02.11.2013

10 Інформаційне діалогове вікно 09.11.2013

11 Перевірка семантики програми 16.11.2013

12 Відлагодження основних модулів на штучних вхідних данних 23.11.20013

13 Проміжний контроль рішення задачі 30.11.2013

14 Оформлення виводу результату проекту 02.12.20013

15 “Оздоблення” проекту аніміційними (звуковими) засобами 05.12.2013

16 Представлення та обговорення проекту 10.12.2013

17 Створення довідкової системи та установочної дискети 14.12.2013

18 Рецензування проекту 15.12.2013

Розділ 1

Рішення тригонометричних рівнянь

Для того, щоб вирішити тригонометричне рівняння, потрібно спробувати виконати наступні моменти:

Наводимо всі функції, які входять в наше рівняння до «однаковим кутах»;

Потрібно довести задане рівняння до «однакових функцій»;

Розкладаємо ліву частину заданого рівняння на множники або інші потрібні складові.

Методи

Метод 1. Вирішувати такі рівняння необхідно в два етапи. Перший-перетворюємо рівняння для того, щоб отримати його найпростіший (спрощений) вигляд. Рівняння: Cosx = a, Sinx = a і подібні, називаються найпростішими тригонометричними рівняннями. Другий етап-вирішуємо отримане найпростіше рівняння. Слід зазначити, що найпростіше рівняння можна вирішити алгебраїчним методом, який добре відомий нам зі шкільного курсу алгебри. Його також називають методом заміни підстановки і змінної. За допомогою формул приведення, спочатку потрібно перетворити, потім зробити заміну і після цього знайти коріння.

Далі потрібно розкласти наше рівняння на можливі множники, для цього необхідно перенести всі члени вліво і потім можна розкладати на множники. Тепер потрібно привести дане рівняння до однорідного, в якому всі члени дорівнюють одній ступені, а косинус і синус мають один і той же кут.

Перед тим, як вирішувати тригонометричні рівняння, потрібно перенести його члени в ліву частину, забравши з правої, а потім виносимо все спільні знаменники за дужки. Прирівнюємо наші дужки і множники до нуля. Наші прирівняні дужки являють собою однорідне рівняння зі зменшеною ступенем, яке потрібно розділити на sin (cos) в старшій ступені. Тепер вирішуємо алгебраїчне рівняння, яке було отримано, у співвідношенні до tan.

Метод 2. Ще одним методом, за допомогою якого, можна вирішити тригонометричне рівняння є перехід до половинному куті. Приміром, вирішуємо рівняння: 3sinx-5cosx = 7.

Нам потрібно перейти до половинному куті, в нашому випадку це: 6sin (x / 2) * cos (x / 2) – 5cos? (x / 2) +5 sin? (x / 2) = 7sin? (x / 2) +7 cos? (x / 2). А після цього, зводимо всі члени в одну частину (для зручності краще вибрати праву) і приступаємо до вирішення рівняння.

При необхідності можна вводити допоміжний кут. Це робиться у випадку, коли потрібно замінити ціле значення sin (a) або cos (a) і знак «a» якраз і виступає допоміжним кутом.

Твір в суму

Як вирішувати тригонометричні рівняння, використовуючи твір в суму? Метод відомий як перетворення добутку в суму також може бути використаний в рішенні таких рівнянь. У цьому випадку необхідно використовувати відповідні рівнянню формули.

Наприклад, у нас є рівняння: 2sinx * sin3x = сos4x

Нам потрібно вирішити цю задачу шляхом перетворення лівій частині в суму, а саме:

сos 4x-cos8x = cos4x,

cos8x = 0,

8x = p / 2 + pk,

х = p/16 + pk / 8.

8

Якщо вищенаведені методи не підходять, і Ви все ще не знаєте, як вирішувати найпростіші тригонометричні рівняння, можна скористатися ще одним методом – універсальна підстановка. З його допомогою можна перетворити вираз і провести заміну.

До прикладу: Cos (x / 2) = u. Тепер можна вирішувати рівняння з наявним параметром u. А отримавши потрібний результат, не забуваємо перевести це значення в зворотне.

Багато «досвідчені» учні радять звернутися за вирішенням рівнянь до людей в онлайн-режимі. Як вирішити тригонометричне рівняння онлайн, запитаєте Ви. Для онлайн рішення задачі, Ви можете звернутися на форуми відповідної тематики, де Вам можуть допомогти порадою або ж у рішенні задачі. Але найкраще, все ж спробувати обійтися власними силами.

Навички та вміння у вирішенні тригонометричних рівнянь є дуже важливими і корисними. Їх розвиток зажадає від Вас чималих зусиль. З рішенням таких рівнянь пов’язані багато завдання фізики, стереометрії і т.д. А сам процес вирішення подібних завдань припускає собою наявність умінь і знань, які можна придбати під час вивчення елементів тригонометрії.

Функція називається алгебраїчною, якщо для отримання значення

Функції на заданої множині Х потрібно здійснити арифметичні операції та піднесення в степінь з раціональним або ірраціональним показником.

Рівняння, які містять алгебраїчні функції називаються нелінійними алгебраїчними рівняннями.

До трансцендентних функцій відносять всі неалгебраїчні функції:

Показникові ах, логарифмічні , тригонометричні sin x, cos x, tgx, ctgx, обернені тригонометричні arcsin x, arcos x, arctg x, arcctg x..

Нелінійні рівняння, які містять трансцендентні функції називаються нелінійними трансцендентними рівняннями.

Розв’язком нелінійного рівняння на ЕОМ називається вектор координати якого при підстановці в початкове рівняння перетворює його в тотожність.

В нелінійному рівнянні виду:

і-та координата вектора називається і- тим коренем рівняння, а а1, а2, …, ат - коефіцієнтами рівняння

Відокремлення коренів

Корінь рівняння f(x)=0 вважається відокремленим на відрізку [a;b], якщо на цьому відрізку дане рівняння не має інших коренів.

Відокремити корені – це означає розбити всю область допустимих значень (ОДЗ) на відрізки, в кожному з яких міститься один корінь. Відокремлення коренів можна здійснити двома способами – графічним та аналітичним.

Графічний метод. Будують графік функції y=f(x) для рівняння виду f(x)=0 , або представляють рівняння у вигляді та будують графіки

функцій та . Значення дійсних коренів рівняння є

абсцисами точок перетину графіка функції y=f(x) з віссю Ox бо абсцисами точок перетину графіків функцій та .

Відрізки, в яких знаходиться тільки по одному кореню, легко знаходяться наближено.

Приклад Знайти наближено графічним способом корені рівняння lg x – 3x+5=0

Розв’язок. Перепишемо рівняння наступним чином: lg x = 3x-5. Функції в лівій і правій частині рівняння мають спільну область визначення: інтервал . Тому будемо шукати корені саме на цьому інтервалі.

Будуємо графіки функцій y= lgx i y= 3x-5

Пряма y= 3x-5 перетинає логарифмічну криву в двох точках з абсцисами x1=0.00001 I x2=1.75. На рисунку важко показати перетин графіків цих двох функцій в першій точці, але, враховуючи, що нижня вітка логарифмічної кривої необмежено прямує до осі Оу, можливо уявити, що перетин цих двох графіків пройде поблизу точки перетину графіка функції y= 3x-5 і осі Оу. Абсциса точки перетину наближено дорівнює 0.00001. Отже корені рівняння х₁ 0.00001 і х2 1.75.

Приклад 2. Розв’язати графічно рівняння х3-2х2+2х-1=0.

Розв’язок. Перший спосіб: Побудуємо графік функції y=x3-2x2+2x-1 і визначимо абсциси точок перетину цього графіка з віссю Ох. Крива перетинає Ох в точці х=1, звідси витікає, що рівняння має один корінь (Відмітимо, що алгебраїчне рівняння третього степеня має один або три дійсних кореня. Так як крива перетинає вісь абсцис тільки в одній точці, то дане рівняння має тільки один дійсний корінь. Інші два кореня - комплексні.)

Другий спосіб: Представимо дане рівняння в вигляді х3=2х2-2х+1 і побудуємо графіки функцій y=х3 і y=2х2-2х+1. Знайдемо абсцису точки перетину цих графіків; отримаємо х=1 , або область, де знаходиться точка перетину (тобто корінь рівняння).

Приклад 3. Знайти графічно корені рівняння

Розв’язок. Будуємо графіки функцій y=2* y=2x. Ці графіки перетинаються в двох точках, абсциси яких рівні. Дане рівняння має два кореня y=2* y=2x

Аналітичний метод. Аналітично корні рівняння f(x) = 0 можна відокремити, використовуючи деякі властивості функцій та однією з розглянутих нижче теорем.

Теорема 1. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a;b] приймає на кінцях цього відрізку значення різних знаків, то всередині відрізка [a;b] , існує хоча б один корінь рівняння f(x) =0

Теорема 2. Якщо функція f(x) неперервна та монотонна на відрізку [a;b] і приймає на кінцях відрізка значення різних знаків, то всередині відрізка [a;b] снує корінь рівняння f(x)=0 , і цей корінь єдиний.

Теорема 3. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a;b] і приймає на кінцях цього відрізку значення різних знаків, а похідна f ‘(x) берігає

постійний знак всередині відрізка, то всередині відрізка існує єдиний корінь рівняння f(x) = 0

Для відокремлення коренів аналітичним методом можна рекомендувати наступний

алгоритм:

1. Дослідити дане рівняння на монотонність і неперервність, визначити область допустимих та граничних значень.

2. Знайти f’(x) – першу похідну, прирівняти її до нуля та знайти критичні точки.

3. Скласти таблицю знаків функції f(x) , використовуючи для x значення критичних точок, граничних значень з ОДЗ і точок, отриманих на першому кроці при аналізі даного рівняння.

4. Визначити інтервали, на кінцях яких функція приймає значення протилежних знаків. Всередині цих інтервалів існує по одному і тільки одному кореню.

Приклад 4. Відокремити корені рівняння x3+3x2-24x+1=0

Розв’язок.

1. ОДЗ рівняння (- )

2. Визначимо першу похідну функції f(x): f'(x)=3x2+6x-24 та критичні точки, для чого f'(x)=0: x1=-4; x2=2

3. 3. Складемо таблицю знаків виду