8.2 Порядок розрахунку за допомогою інтеграла Дюамеля

1 . Визначається перехідна характеристика h’(t) кола по струму або по напрузі. Залежно від виду перехідної характеристики і виду напруги зовнішнього впливу вибирається форма запису інтеграла Дюамеля (8.1 )-(8.4).

Для визначення виду перехідної характеристики h’(t) замість часу t підставляється t=0 . Якщо при цьому h’(t)=0, то вибирається форма запису (8.3) або (8.4).

При нульовому значенні зовнішньої напруги и(0)=0 у момент часу t=0 вибирається форма запису (8.1) або (8.2).

У випадку наявності напруги и (0) ≠ 0 і стрибка перехідної характеристики h’(t) h’(0) ≠ 0 у початковий момент запису рекомендується використати форму запису (8.1) або (8.2). Вибір форм запису залежить від складності отриманих підінтегральних виразів.

2. Визначається вираз для шуканої змінної шляхом підстановки знайденого виразу перехідної характеристики h’(t) і заданої зовнішньої напруги в обрану форму запису інтеграла Дюамеля (8.1) - (8.4). Задана зовнішня напруга розбивається на ділянки , на яких напруга джерела має безперервний закон зміни. Тоді шуканий струм або напруга визначається як сума інтегралів від кожної ділянки.

Припустимо, що задано зовнішню напругу, що змінюється за законом, представленим на малюнку 8.1, де напруги й — закони зміни напруги на відповідних ділянках.

_{з t}

Розглянемо застосування інтеграла Дюамеля на прикладі цього графіка.

Рис. 8.1

Заданий графік зміни зовнішньої напруги розіб'ємо на наступні ділянки й запишемо вирази для струму кожної ділянки:

1)

(8.5)

2)

(8.6)

3)

(8.7)

4)

(8.8)

У виразах (8.5)-(8.8) прийняті наступні позначення:

- похідні від напруги розглянутих ділянок за часом, у яких замість t підставлена змінна ;

h’ (t- ) - перехідна характеристика кола при підстановці (t- ) замість t .

- перехідні характеристики кола при підстановці (t-t₁) і (t-t₂) замість t відповідно.

8.3. Визначення перехідної характеристики кола

Розглянемо визначення перехідної характеристики вхідного струму для схеми, наведеної на рис.8.2.

Рис. 8.2

Визначимо вираз для миттєвого значення струму i₁(t) при ввімкненні електричного кола на джерело постійної напруги.

Скористаємося операторним методом розрахунку. Складемо операторну схему заміщення. Для цього визначимо значення струму індуктивності для моменту часу і_L (-0) . Оскільки розглянуте електричне коло вмикається на зовнішнє джерело напруги, то і_L (-0)=0.

Складемо операторну схему заміщення, що наведена на рис. 8.3.

Рис. 8.3

Визначимо струм І₁(р) за законом Ома:

(8.9)

Для визначення миттєвого значення струму i₁(t) скористаємося теоремою розкладання.

І(р) = N(p) / М(р) (8.10)

N(p)=U(R₂+Lp), М(р)=р(R₁ R₂ +Lp(R₁+ R₂)) (8.11)

Знаходимо корені чисельника: N(p)=0; p₃= - R₂/L

Знаходимо корені знаменника: М(р)=0; p₁ = 0; p₂ = -R₁R₂/L(R₁+R₂)

З порівняння коренів чисельника та знаменника робимо висновок: у поліномів N(p) і М(р) не має рівних коренів, тому можливо використовувати наступну форму запису теореми розкладання:

(8.12)

Знаходимо значення полінома N(p) для кожного кореня знаменника:

N(p₁)=UR₂ (8.13)

N(p₂)=UR₂ ²/( R₁+ R₂) (8.14)

Знайдемо похідну від знаменника М(р): М’(р)=R₁ R₂ +2Lp(R₁+ R₂).

Визначимо значення полінома М’(р) для коренів знаменника:

М’(р₁)=R₁ R₂ (8.15)

М’(р₂)=(+R₁ R₂+2L(R₁+ R₂)(- R₁ R₂/(L(R₁ +R₂))))=- R₁R₂. (8.16)

Знаходимо вираз для миттєвого значення струму i₁(t) по формулі (8.11):

i₁(t)= (8.17)

Перехідна характеристика кола для струму i₁(t) чисельно дорівнює перехідному струму i₁(t) при ввімкненні кола на джерело постійної напруги, яке дорівнює одному вольту.

(8.18)