3. Визначення оригіналів

Якщо отримане операторне зображення струму та напруги має табличне значення, то знаходження оригіналу здійснюється за допомогою табл. 7.1, якщо отримана функція не має табличного вигляду, то перехід до оригіналу здійснюється за допомогою теореми розкладення.

Отриману функцію І(р) або U(р) представляють у вигляді співвідношення двох поліномів:

І(р) = N(p) / М(р) (7.11)

Визначаються корені рівняння М(р)=0. В залежності від виду коренів знаменника теорема розкладення може мати наступні форми:

1. Якщо корені рівняння М(р)=0 різні і серед них немає коренів, які дорівнюють кореням рівняння N(p)=0, то оригінал струму i(t), який відповідає зображенню (7.11), може бути знайденим відповідно теоремі розкладення:

(7.12)

де m - число коренів знаменника М(р)=0.

2. Якщо в рівнянні М(р)=0 існує n різних коренів (р₁, р₂….р_n) і з них корінь р₁ кратністю m₁, корінь р₂ кратністю m₂, то оригінал струму буде знаходитись за формулою:

(7.13)

Тут вираз, що міститься в знаменнику квадратної дужки, треба спочатку скоротити на і лише послу цього диференціювати. Другий шлях пропонує представлення операторного зображення І(р) або U(р) у вигляді простих дробів. Перехід до оригіналу для суми простих дробів може бути здійснений за допомогою таблиці оригіналів та зображення.

3. Якщо серед n коренів є пара комплексних спряжених коренів ,то теорема розкладення може бути представлена в наступному вигляді:

(7.14)

Знайдемо оригінал струму i_L(t) за його операторним зображенням (7.10). Задамося параметрами кола: R₁=10 Ом, L=0.1 Гн, С=100 мкФ, напруга джерела U=100 В. Приймаємо i_L(-0) = 5 А, U_С(-0)=50 В. Підставимо числові дані в вираз (7.10) та перетворимо його, визначивши коефіцієнти поліномів чисельника та знаменника:

(6.5)

_m

(6.4)

І_L(р)= (7.15)

Визначимо корені поліномів чисельника та знаменника.

N(p)=

р₄ = - 230, р₅ = - 670 (7.16)

М(p)= р(

р₁=0, р₂ = - 113, р₃ = - 887 (7.17)

Порівнюючі корені чисельника та знаменника можливо зробити висновок, що серед них немає рівних коренів, тому застосовується форма теореми розкладення (7.12):

Знайдемо значення полінома чисельника шляхом підстановки в N(p) коренів знаменника:

N(p₁)=

N(p₂)=

N(p₃)= (7.18)

Візьмемо похідну від полінома знаменника:

Знайдемо значення похідної М’(p) для коренів знаменника.

М’ (p₁)=

М’(p₂)=

М’(p₃)=

Визначимо оригінал струму i_L(t)

i_L(t) =

8 Методичні вказівки з розрахунку перехідних процесів за допомогою інтеграла Дюамеля

8.1 Основні положення методу розрахунку перехідних процесів за допомогою інтеграла Дюамеля

При підключенні кола в початковий момент t=0 до джерела одиничної напруги або струму (напруга на будь-якій ділянці або будь-який струм у будь-якій його вітці як функція часу) називається перехідною характеристикою кола h'(t) по напрузі або по струму відповідно.

Перехідна характеристика кола не залежить від форми і амплітуди, що діють у схемі джерел ЕРС і струму, і визначається самою схемою і параметрами її елементів.

Для визначення перехідної характеристики кола можна користуватися як класичним, так і операторним методом розрахунку перехідних процесів. Інтеграл Дюамеля застосовується для розрахунку перехідних процесів у лінійних електричних колах, коли напруга зовнішнього джерела змінюється в часі за складним законом, при наявності стрибків напруги. У загальному випадку напруга зовнішнього джерела задається графічно.

Існують наступні форми запису інтеграла Дюамеля:

(8.1)

(8.2)

(8.3)

(8.4)

(7.1)

де - похідна від напруги.

При виборі форми запису інтеграла Дюамеля рекомендується мати на увазі наступне: якщо зовнішня напруга не має стрибка в момент часу t=0 , тобто u (0)=0, то варто застосовувати вирази (8.1) або (8.2). У цьому випадку форма запису інтеграла спрощується.

Якщо струм у вітці або напруга на елементі кола не змінюється стрибком у момент часу t=0 , то перехідна характеристика кола в цей момент часу h’(0) = 0. У цьому випадку зручніше користуватися записами (8.3) або (8.4), тому що вирази для інтеграла спрощуються.