5.3 Закони комутації

Кожному стану електричного кола відповідає запас енергії електричного й магнітного полів. Відповідно до закону збереження енергії при переході кола від одного стану до іншого енергія не може змінитися стрибком. Це пояснюється кінцевою швидкістю поширення електромагнітної енергії.

На підставі закону збереження енергії запишемо вираз для магнітної енергії котушки індуктивності та електричної енергії конденсатора:

W_м(-0)=W_м(+0); W_е(-0)=W_е(+0) (5.12)

де W_м(-0), W_е(-0) - значення енергії, запасеної в магнітному й електричному полях безпосередньо перед комутацією.

Виразимо енергію магнітних і електричних полів через струм i_L котушки індуктивності й напруги U_c на конденсаторі:

(5.13)

У випадку постійної індуктивності L=const і ємності C=const кола вирази (5.13) приймають наступний вигляд:

(5.14)

Запишемо закон збереження енергії з урахуванням виразів (5.14):

(5.15)

На підставі виражень (5.15) сформулюємо закони комутації:

Перший закон комутації: струм котушки індуктивності в початковий момент часу після комутації дорівнює струму котушки безпосередньо перед комутацією. Тобто у момент комутації струм котушки індуктивності не може змінитися стрибком: i_l (-0) = i _l (+0).

Другий закон комутації: напруга на конденсаторі в початковий момент часу після комутації дорівнює напрузі на конденсаторі безпосередньо перед комутацією. Тобто напруга на конденсаторі в момент комутації не може змінитися стрибком:U_c (-0) = = U_c (+0).

5.4 Загальна методика розрахунку перехідних процесів класичним методом

5.4.1 Методи складання характеристичного рівняння

5.4.1.1 Складання характеристичного рівняння за законами Кірхгофа.

Рис.5.1

Позначимо позитивні напрямки струмів у вітках. Складемо систему рівнянь для миттєвих значень кола отриманого після комутації:

(5.16)

Вирішимо систему рівнянь щодо обраної змінної. У якості змінної рекомендується вибрати струм котушки індуктивності або напругу конденсатора, тому що для цих змінних можливо використати закони комутації. У якості шуканої змінної вибирається струм i₂ котушки індуктивності. Перетворимо вихідну систему рівнянь щодо струму i₂.

Для цього з першого рівняння виразимо струм i₁ = i₂+ i₃ і підставимо в друге рівняння:

(5.17)

З отриманого рівняння виразимо струм i₃:

(5.18)

і підставимо у третє рівняння, де замість напруги U_C на конденсаторі представимо її вираз через струм конденсатора i₃:

(5.19)

Продиференціюємо отримане рівняння й перетворимо його:

(5.20)

(5.21)

Отримане рівняння в загальному вигляді має своїм розв’язком струм, що складається з двох доданків:

i₂=i_{2 пр} + i_2в (5.22)

де i_{2 пр} - примусова складова струму, що визначається параметрами кола та дією джерела енергії;

i_{2 в} - вільна складова струму, що визначається тільки параметрами кола і не залежить від виду джерела енергії.

Примусова складова струму у випадку дії джерела з постійною напругою може бути визначена з рівняння (5.21). У сталому режимі похідні від струму i₂ дорівнюють нулю, тому рівняння (5.21) приймає вигляд:

i_{2 пр} (5.22)

i_{2 пр} = (5.23)

Вільна складова струму визначається розв’язанням однородного диференційного рівняння, яке отримується при прирівнюванні правої частини рівняння (5.21) до нуля:

(5.24)

Для отримання характеристичного рівняння приймаються наступні позначення:

(5.25)

Із урахуванням прийнятих позначень перетворимо рівняння (5.24):

. (5.26)

Тоді вираз для характеристичного рівняння прийме вид:

(5.27)

5.4.1.2 Складання характеристичного рівняння методом контурних струмів.

Вибираємо позитивні напрямки контурних струмів за часовою стрілкою.

Рис.5.2

Складемо систему рівнянь:

(5.28)

Перетворимо систему рівнянь (5.28), приймаючи наступні позначення:

(5.29)

(5.30)

Запишемо вираз для основного визначника ∆ системи (5.30)

. :

(5.31)

Після математичних перетворень визначник ∆ приймає вигляд:

(5.32)

Тоді характеристичне рівняння отримаємо при ∆ = 0:

(5.33)