2.2 Описание метода ветвей и границ

Решение задачи предварительный этап и итерации.

Предварительный этап.

На предварительном этапе происходит переход от матрицы С к матрице С₀ – характери­зующуюся тем что в каждой строке и в каждом столбце существует нулевое значе­ние, эти элементы являются претендентами включения в оптимальный маршрут, для получе­ния матрицы С₀ выполняют следующие шаги:

Шаг 1. В каждой i-й строке матрицы С находят минимальный элемент h_i = min c_ij и

j

обра­зуют ||c’_ij||, у которой c’_ij = c_ij - h_i, таким образом, в каждой строке присутствует хотя бы один нулевой элемент.

Шаг 2. В матрице C' для каждого столбца находят минимальный элемент, и происхо­дит переход к матрице ||C₀|| => c_ij=c’_ij-h­_j. Константы h_i, h_j называют константами приведения.

Шаг 3. Вычисляется сумма констант приведения Hо = . Процесс перехода от мат­рицы С к матрице C₀ называют процессом приведения.

Этап 1.

На этом этапе формируется исходное множество Gо и находиться мат­рица Со, нижняя оценка  (Gо) и два подмножества Р и .

Шаг 1. Исходное множество Gо или множество решений задачи коммивояжера представляет собой множества всех возмож­ных решений, перестановок из n чисел. Общее количество таких перестановок равно n!. В качестве характеристики используют матрицу C₀, которая была полу­чена на предварительном этапе при реализации процедуры при­ведения.

Шаг 2. Вычисляется нижняя оценка исходное множество Gо. Она равна сумме

приводящих констант:  (Gо)= Hо = . Если из нулевых элементов матрицы Со можно сформиро­вать замкнутый маршрут, то его длинна совпадает с суммой при­водящих констант, а элементы, входящие в этот маршрут, обра­зуют оптимальное решение.

Шаг 3. Исходное множество G₀ делится на два непересекающихся подмножества G и G (рис.1.). Подмножество G содержит все маршруты с переходом из r-го города в m-й, а подмножества G - все остальные переходы. Пара (r, m) называется пер­спективной.

__

(r, m) (r, m)

рис. 1. Деление исходного множества

Концепция выбора перспективной пары:

Шаг 1. Длина непосредственного перехода между городами, входя­щими в перспективную пару, должна быть мини­мальной, т.е. элемент с`о (r, m) = 0;

Шаг 2. Длина опосредованного пути стремится к максимуму. Опосредованный путь ме­жду r и m – путь проходящий из r в m через другие города.

Этап 2.

На втором этапе определяется характеристики подмножества G₂ , а именно матрица С , и нижняя оценка подмножества G ,

Шаг 1. Подмножество G содержит все перестановки, в которых отсутствует переход (r,m) очевидно, что матрица C должна отображать это свойство подмножества. C - получа­ется путем преобразования C₀, для этого элемент с координатами r, m приравнивают к бесконечности.

К этой матрице применяется процедура приведения, и значение суммы приводящих констант равно н . В результате получается матрица с .

Шаг 2. Определяется нижняя оценка множества G , ( G ) = (Go) + H = (Go) + (r, m).

Этап 3.

Определение характеристики множества G , матрица C и нижняя оценка.

Шаг 1. Для получения матрицы С необходимо:

1) В матрице Со вычеркнуть r-ю строку и m-й столбец. Вычер­кивание r-й строки означает, что коммивояжер больше не должен выезжать из r-го города не в какой другой город, а вычеркивание m-го столбца указывает на то, что коммивояжер не должен выез­жать в m-й город не из какого другого города;

2) Необходимо элемент с координатами (m,r) приравнять к бесконечности для ис­ключения образования локальных циклов типа (r,m,r). В дальнейшем такие замкнутые подциклы называ­ются короткими.

В результате этих преобразований получаем матрицу в результате преобразований получается матрица C =||c (i, j) ||, для получения окончатель­ной матрицы необходимо выполнить процедуру приведения.

Шаг 2. Вычисляется нижняя оценка множества G , ξ (G )= ξ (G₀) + H .

Этап 4.

На этом этапе происходит сравнение нижних оценок конкурирующих между собой подмножеств G и G , в качестве перспективного выбирается подмножество, имеющее минимальную нижнюю оценку. После этого выполняется переход на первую итерацию, состоящую в том, что выбранное перспективное подмножество, например G , (рис. 1.3) делиться на два непересекающихся подмножества G и G . В качестве конкурирующих рассматривается как вновь образованные, так и ранее отброшенные на предыдущем этапе, как неперспективное подмножество G .

Все конкурирующие подмножества переобозначаются, как G , G и G .

(Gо), Co

___

(r1, m1) (r1, m1) Перспективное

подмножество

(G ), C

(G ), C ____

(r2, m2) (r2, m2)

G G