Экстраполяция нулевого порядка (zoh)

Построение дискретной модели с использованием ZOH заключается в следующем: устройство ZOH , на вход которого поступает дискретный сигнал u(h), экстраполирует каждое значение постоянным уровнем в течении временного периода дискретизации. Этот сигнал попадает на вход непрерывной системы в виде передаточной функции u(s), выход с которой y(t) квантуется по времени с периодом Ts, в результате получаем сигнал y(h)

Ключ на схеме с периодическим тактом квантования заменим на время h, причем Ts>>h

Лекция 6 (09.11.2013)

Аналитическое получение дискретной передаточной функции из непрерывной с помощью zoh

Возможны 2 варианта:

1. 

2. 

Где z – дискретное преобразование Лапласа

В качестве примера рассмотрим преобразование простого апериодического звена:

Переходная характеристика:

1-й вариант.

Для нахождения по таблице z-преобразований, найдем, что

Тогда

Если k=1, T=1, шаг T₀=0.1, то

Тогда

2-й вариант.

Используя таблицу z-преобразование, получим:

Если k=1, T=1, шаг T₀=0.1, то

Тогда

Методы с использованием таблиц преобразований являются точными методами.

Неточные методы, например, билинейная аппроксимация Тастина. Она использует приближение отношений для представления экспоненты z=exp(sT_s)≈

Чтобы установить связь между переменными функции s и z для передаточной функции непрерывной и дискретной модели. В этом случае передаточная функция s(t) непрерывной модели преобразуется в передаточную функцию дискретной модели с использование формулы:

А обратное преобразование использует подстановку

Вывод уравнения приближенного соотношения Тастина:

Рассмотрим интегральное уравнение

Если идеальный интеграл заменить численной операцией интегрирования по формуле треугольника, то при малых значения справедливы следующие соотношения:

Где - оператор единичной задержки.

Учитывая, что при малых тактах квантования уравнения (2) и (4) должны практически совпадать, мы можем записать:

Более точного приближения можно достичь с помощью операции интегрирования по формуле трапеции.

Следовательно, при малом шаге имеет месть зависимость

Метод Тастина с коррекцией prewarp

Этот вариант билинейной аппроксимации использует приближенное соотношение:

Чтобы обеспечить равенство соответствующих непрерывных и дискретных характеристик на частоте w:

Лекция 7 (16.11.2013)

Метод экстраполяции первого порядка (fho)

Экстраполятор первого порядка отличается от экстраполятора нулевого порядка способом аппроксимации входного сигнала, он использует линейную аппроксимацию на периоде дискретизации.

Для систем с гладкими входными сигналами этот метод обеспечивает высокую точность, но может быть использован только для преобразования непрерывной системы в дискретную с помощью функции c2d. Поскольку экстраполяция реализуется только на одном шаге, описанный метод более правильно называть методом прямоугольной аппроксимации.

Метод соответствия нулей и полюсов (matched).

Метод соответствия нулей и полюсов применим только к одномерным системам. В результате выполнения этой процедуры непрерывные дискретные системы имеют одинаковый коэффициент усиления, а их полюсы и нули соотносятся в соответствии с выражением:

Данный метод заключается в выполнении следующий операций:

1. Определение нулей и полюсов передаточной функции непрерывной системы;

2. Отображение нулей и полюсов s-плоскости в z-плоскость, используя соотношения:

Где Т – период квантования

3. Образование полиномов z передаточной функцией с полюсами и нулями, определенными в пункте 2;

4. Определение конечного значения реакции непрерывной системы на единичное ступенчатое воздействие;

5. Определение конечного значения реакции дискретной системы на единичного ступенчатое воздействие;

6. Подбор конечного значения дискретной системы в соответсвии с конечным значение непрерывной системы введение постоянной в передаточную функцию, образованную в п.3;

7. Добавление нулей в передаточную функцию дискретной системы до получения m=n-1, то есть числитель меньше знаменатель без единицы;

8. Определение моделирующего разностного уравнения.

Пример. Методом подбора корня получить разностное уравнение для моделирования на ЦВМ непрерывной системы, имеющей передаточную функцию

Параметры передаточной функции те же, что и в предыдущем примере.

Нулей передаточная функция не имеет, а полюсы комплексно сопряженные и равные  j, где  = -0.6,  = 1.908. Передаточную функцию моделирующей дискретной системы запишем в виде

После преобразований и умножения на пока неизвестный коэффициент k, получим

Конечное значении реакции непрерывной системы на единичное ступенчатое воздействие будет

Конечное значение реакции дискретной системы на то же воздействие определится как

Для того, чтобы конечные значения реакций непрерывной и дискретной систем были равны, коэффициент k должен быть равен

Подставив коэффициент усиления, а так же значения  и  и дополнив передаточную функцию дискретной системы одним нулем, получим

По этой передаточной функции можно получить моделирующее разностное уравнение и рекуррентную формулу, по которой и рассчитан переходный процесс, показанный на рис.8.14.

Рис.8.14. Переходный процесс, полученный при использовании

метода подбора корня

Полученная переходная функция с достаточно высокой точностью соответствует переходной функции исходной непрерывной системы.

Получение разностного уравнения по исходной дискретной передаточной функции.

РАзделим числитель и знаменатель на

Учитывая, что это задержка на 1 шаг, получим:

Отсюда можем получить структурную схему:

Схему такого вида можно собрать на реальном техническом устройстве.

Лекция 8 (23.11.2013)