Занятие №5

Тема задания. Приближение таблично заданных функций. (2 часа)

Содержание задания.

Приближение таблично заданных экономических зависимостей. Прогнозирование в среде MAPLE результата деятельности торгового предприятия с помощью кубического сплайна и методом наименьших квадратов с целью выработки рекомендаций для лица, принимающего решение (ЛПР).

З адача 1. Решите задачу прогнозирования дохода торгового предприятия (в млн. руб.).

Решение задачи. Используя таблицу значений функции Y(X) найдём приближение этой функции кубическим сплайном. Построим график найденного сплайна. Вычислим значение кубического сплайна в точке X=15. Эти операции в среде MAPLE можно выполнить, например, нижеприведённым способом ( после каждого оператора следует нажать "Enter").

Здесь время задано в долях месяца.

На экране появится формула кубического сплайна.

Постройте график сплайна на отрезке [1/4,15/4] с помощью оператора > plot(S(x),x=1/4..15/4);

Далее вычислим прогнозируемое значение дохода предприятия на 15-ю неделю. Для этого запишем оператор:

куда вместо F(15/4) скопируем с экрана многочлен третьей степени, который определяет сплайн при значениях x , больших, чем 14/4, и подставим в него вместо x число 15/4.

Задача 2. Решите предыдущую задачу методом наименьших квадратов.

Рекомендация к решению задачи. Решение задачи можно выполнить аналогично решению следующей общей задачи наилучшего точечного среднеквадратичного приближения.

Постановка задачи. Пусть известны 10 значений функции Y=Y(X) с погрешностью E<=0.1 :

Y(1)=0.2, Y(1.1)= 1.7, Y(1.3)= 2.9, Y(1.4)=3.4, Y(1.5)= 3.6,

Y(1.6)=3.3, Y(1.7)=3.4, Y(1.8)=3.3, Y(1.9)=3.6, Y(2.2 )=6.1.

Требуется

1.Приблизить функцию Y=Y(X)

а) алгебраическим многочленом второй степени ,

б) алгебраическим многочленом третьей степени

используя метод наименьших квадратов, и оценить погрешность приближений.

2. Вычислить приближённо значение функции Y при X=2.3 .

Решение задачи.

Оценим точность приближения. Вычислим величины E2 и E3 среднеквадратичных отклонений для найденных многочленов.

Поскольку погрешность приближения функции многочленом третьей степени совпадает в данном примере с погрешностью исходных данных, дальнейшее повышение степени приближающего многочлена нецелесообразно.

Вычислим прогнозируемое в точке X=2.3 значение функции Y=Y(X).

Построим графики найденных многочленов и соединим для наглядности ломаной линией исходные точки.

Ответ.

1. P2(x)=-0.5x^2 + 5.3x - 3.7

P3(x)=15.1x^3 - 73.1x^2 + 117.5x - 59.2

2. Приближённое значение функции Y(X) при x=2.3 равно 7.9 .

Прогнозирование в среде STATISTICA

Содержание задания. Прогнозирование в среде STATISTICA . Классические модели временных рядов в пакете Statistica. Экспоненциальное сглаживание.

Решение простейших задач в пакете statistica

Задача 1. Постройте графики функций распределения и плотностей распределения для следующих распределений:

• стандартного нормального, вычислите p-квантиль при p=0.34;

• нормального , с M[ξ]=m, D[ξ]=σ^2 , при m=1, σ=1; при m=1, σ=2 ;

• Хи-квадрат с 2-мя степенями свободы, с 5-ю степенями вободы, с 10-ю степенями свободы, вычислите p-квантиль при p=0.48;

• Фишера, с n=3, m=5 , вычислите p-квантиль при p=0.61;

При решении задачи в пакете Statistica 6 выбираем в главном меню пакета модуль Статистика/Основные статистики/Таблицы. В подменю выбираем Вероятностный калькулятор (Probability calculator).

Задача 2. Теорема Бернулли утверждает, что:

P{ │ μ/n - p│ < ε} →1 при n →∞ (1)

Пусть в серии из n бросков симметричной монеты герб выпал μ раз (в каждом броске вероятность выпадения герба равна 0.5) .

С помощью центральной предельной теоремы можно доказать, что при n>170 с вероятностью 99% выполняется неравенство

│ μ/n - p│ < 0.1 , (2)

а при n > 1850 │ μ/n - p│ < 0.03 . (3)

Смоделируйте бросание монеты генерацией случайной величины, принимающей значения 1 («герб») и 0 («цифра») с вероятностями, равными 0.5 .

Число испытаний задайте равным

1. n=170 + N,

2. n=1850 +N,

где N - номер варианта задания.

Подсчитайте число появлений «герба» в каждой серии бросков. Убедитесь, что с вероятностью 99% в первом случае выполняется неравенство (2), а во втором - (3) .

Решение задачи в пакете Statistica 6. В главном меню пакета выбираем «Основные статистики и таблицы».

. Появится таблица (10v x 10c) Сформируем вектор заданной размерности n=1900: Файл/Новый/Число переменных -1 , Число регистров-1900.

Генерация значений: правой мышкой (ПМ) кликните по заголовку Vars / Variable Specs, дайте имя переменной..

Затем следует задать закон вычисления значений переменной. :

Long name: =trunc (rnd(1)+0,5) – это означает, что вычисляется целая часть с недостатком от случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [0,5 , 1,5]. Набирать формулу лучше с помощью кнопки Function/Math/Trunk/Enter и т.д..

Определение числа появлений «герба» в 1900 наблюдениях и относительной частоты в серии из n=1900 испытаний:

Кликните по заголовку ЛМ , затем ПМ / Статистика блока данных/Block columns/ Means. Получим частоту успеха.

Затем, выделим события с 190-го по 1-ый и вновь определим частоту успеха. Сравним полученные результаты и проверим, выполняется ли для них утверждение теоремы Бернулли.

Задача шевалье де Мере. Вычислите вероятность выпадения хотя бы один раз 12 очков в серии из 24 бросков пары игральных костей. Какова будет вероятность такого события в серии из 25 бросков?

Подсказка. Сформируем в новом файле два вектора, размерности 24 и 25. Формула для вычисления вероятностей выпадения шести очков на каждой из двух костей k раз в серии из Z испытаний, очевидно, имеет вид: =Binom(k;1/36;Z). Здесь k должно меняться в первом столбце от 0 до 24, а во втором столбце до 25. Поэтому вместо него поставим v0.

Для каждого столбца вычислим сумму вероятностей отдельных событий: ПМ / Статистика блока данных/Block columns/ Sums.. Сравним результаты, прав ли был шевалье де Мере?

Задача 3. Сгенерируйте выборку объема 40 из генеральной совокупности с нормальным распределением при μ=0.5, σ=1 . Постройте гистограмму по данной выборке.

Выполнение в пакете Statistica 5.5:

Подготовьте таблицу 1v x 40c. Генерируем выборку:Vars – All Specs . В окне Variables в столбце Name введём имя X. Определяющее выражение:

=VNormal(rnd(1);0,5;1) .

Построим гистограмму:

Выделим столбец X. Меню: Graphs – Quick Stats Graphs – Histogram of X – Normal Fit. Наблюдаем гистограмму и график плотности нормального распределения с параметрами, равными выборочным. Здесь можно также было действовать через меню:

Graphs – Stats 2D Graphs – Histogram…

Задача 4. В среде STATISTICA в рамках сезонной мультипликативной модели экспоненциального сглаживания вычислите прогноз для 5 случаев вперед для временного ряда из файла series_g.sta в каталоге statistica/examples.

Параметры модели α,δ,γ определите как лучшие на сетке с шагом 0.1 .

Добавьте сглаженный ряд в рабочую область.

Постройте итоговый график для полученного сглаживания.

Выполнение в пакете Statistica.

Работаем в модуле Анализ временныхрядов и прогнозирование . Откройте файл series_g.sta . Нажмите кнопку Exponential Smoo-thing & Forecasting (экспоненциальное сглаживание и прогнозирование). На экране появится стартовая панель диалога Seasonal and Non- Seasonal Exponential Smoothing (сезонное и несезонное экспоненциальное сглаживание). Зададим в строке Sea-sonal component (сезонная компонента) лаг 12. В столбце Additive выберем - линейный тренд. Система предложит задать три параметра: Alpha, Delta, Gamma. Для поиска значений параметров служат две кнопки, внизу панели Grid Search for best parameters ( поиск на сетке лучших параметров) и Automatic search for best parameters ( автоматический поиск лучших параметров). Щелкните кнопку Grid Search for best parameters . Появится окно Parameter grid Search ( поиск параметров на сетке). Оставьте предложенные системой параметры - OK. Появится таблица результатов поиска лучших параметров на сетке. Щелкнув по кнопке Continue (продолжить) в левом верхнем углу, вернемся назад. Щелкните по кнопке – OK( Perform exponential smoothing) ( выполнить экспоненциальное сглаживание). На экране последовательно появятся таблица и график. Проанализируйте полученный результат.