Занятие№2

Тема задания. Моделирование задач микроэкономики (4 часа).

Содержание задания.

Построение гравитационной модели поведения потребителя.

Вычисление для заданной функции спроса P(Q) эластичности Ed спроса по цене и соответствующего предельного дохода .

Текущий контроль.

Экспресс-опрос. Индивидуальная беседа с каждым из студентов по результатам выполненных заданий.

Задача 1. Постройте гравитационную модель поведения потребителя при наличии двух притягательных центров A и B, расположенных на расстоянии 2a друг от друга.

Замечание. Пояснения к математической модели.

Гравитационная модель У. Рэйли (ам. , 1929г.) используется для оценки предпочтений населения при выборе товаров, услуг, мест отдыха и так далее.

В основе её лежит принцип притягательности центров тяготения, аналог физической теории тяготения.

Согласно этому принципу, притяжение FAM, создаваемое центром A в точке M, обратно пропорционально квадрату расстояния между центром A и точкой M:

А налогично, центр B , расположенный на расстоянии от точки B, создаёт в точке M притяжение

Здесь KA и KB -некоторые постоянные, характеризующие притягательность торговых центров A и B соответственно.

Интересно рассмотреть те точки, находясь в которых потребитель испытывает одинаковое притяжение со стороны обоих торговых центров.

Приравняем силы притяжения: FAM =FBM , то есть

Если ввести обозначение K=KA / KB , то получим условие "безразличия" в следующем виде

Решение задачи. Пусть расстояние между центрами притяжения равно 2a. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы центры притяжения A и B располагались на оси абсцисс на одинаковом расстоянии от начала координат. Тогда координаты точек A и B будут соответственно (-a,0) и

(a,0) .Из условия "безразличия" получаем уравнение "линии безразличия" :

(x+a)^2 +y^2 = K*[(x-a)^2 + y^2].

Решим в среде Matcad это уравнение относительно y и построим графики найденных "линий безразличия". Убедимся, что получится окружность.

Решение уравнения найдём при следующих, например, значениях коэффициентов: a = 1 , K = 2 ( то есть расстояние между торговыми центрами равно 2 , и центр A в два раза притягательнее центра B).

Выполним вычисления в среде Mathcad.

Присвоим имена каждому из решений:

Построим графики найденных "линий безразличия" ( масштабные единицы по осям выбираем однаковыми):

Легко видеть, что графики найденных "линий безразличия" образуют окружность.

Находясь в точках окружности, потребитель испытывает одинаковое притяжение со стороны обоих торговых центров. Если потребитель находится внутри окружности, то для него притяжение центра B будет больше, чем центра A., а если вне окружности, то для него более предпочтительным окажется центр A.

Посмотрим теперь, как изменится "линия безразличия" , если расстояние между центрами увеличится. Пусть, например будет a=3. Решим задачу.

Радиус окружности увеличился, и она сместилась вправо.

Замечание. Выполнив несложные алгебраические преобразования, можно показать, что радиус окружности при K>1 равен

Решите далее аналогичную задачу по определению "линии безразличия" для Вашего номера варианта N, выбрав следующие значения коэффициентов:

a = 1 + 0.2*N, K = 2 + 0.1*N .

Задача 2. Найдите для заданной функции спроса P(Q)= -aQ^2+bQ+c эластичность Ed спроса по цене и соответствующей предельный доход R_p(Q). Постойте графики эластичности Ed(Q) и предельного дохода. Найдите значения Q и соответствующую цену, при которой модуль Ed равен единице.

Указания к решению задачи.

В рабочей области документа Mathcad задаём значения констант и вычисляем эластичность.

_{Построим графики [-Ed(Q)], Rp(Q), F(Q) в зависимости от количества товара Q ( в стоимостных единицах).}

_{Один раз щёлкните левой клавишей мыши (ЛМ) по области графика, появятся маркеры и подключится графический редактор. Ещё два щелчка ЛМ по области графика вызовут появление диалогового окна графического редактора. Отредактируйте графики.}

_{В пакете Mathcad имеется возможность графически определить координаты точек графика. Для этого нужно щёлкнуть один раз по графику ЛМ, потом один раз правой клавишей мышы (ПМ) и выбрать в появившемся меню trace.}

_{Появится новое диалоговое окно.}

_{Если теперь подвести курсор-стрелку к точке пересечения графика функции [-Ed(Q)] и F(Q) и щёлкнуть ЛМ , то в диалоговом окне появятся координаты точки, на которую указывает курсор. Верхнее из чисел даёт}

_{з начение количества товара, при котором модуль эластичности равен единице.}

Графически найдём значения координаты точки, где Ed =-1, а именно Q1=6.38

Для уточнения полученного значения обратимся к вычислительному блоку

Given

Графически найдено значение Q1, где модуль Ed равен 1, Q1=6.38 .

Уточненные данные: Q1=6.27, P(Q1)=1.66 .

Область эластичности спроса по цене: Q меньше чем 6.38

Точность вычислений определяется величиной погрешности вычислений в вычислительном блоке:

Замечание. Решение задачи выполняется аналогично приведенному на стр 218 - 220 учебника [2]. Варианты заданий можно взять из задания 3.22 на стр. 604 этого же учебника.

Занятие №3

Тема задания. Межотраслевой баланс. Модель Леонтьева.

Содержание задания. Построение модели межотраслевого баланса для четырёх отраслей экономики.

Решение задачи из учебника [2].

Текущий контроль.

Индивидуальная беседа с каждым из студентов по результатам задания 2, 3.

Задача 2. Постройте в среде Maple график и изокванты заданной производственной функции Q(K,L) = K^1/5L^4/5 . Дайте экономическую интерпретацию поведения графика функции и изоквант. Вычислите предельные продукты труда и капитала, и коэффициент заменяемости ресурсов.

(Варианты заданий можно взять из задачи 3.20, стр.603 [2]).

Постройте анимацию графика производственной функции.

Замечание. Решение данной задачи в среде Mathcad приведено на стр. 290 - 291 учебника [2].