Рівновага рідин у сполучених сосудах.

Розглянемо систему із двох сполучених між собою посудин (рис.2.8), в які налиті дві різні рідини, що не змішуються між собою і мають різну густину. Для довільної точки А, що знаходиться на межі О – О розділу рідини, складемо балансове рівняння тисків з боку рідин у посудинах 1 і 2 з урахуванням зовнішніх тисків, що діють на рідини:

рис. 2.8

При і отримуємо:

Отриманий вираз означає, рівні рідини які не змішуються між собою і знаходяться в сполучених посудинах при однакових зовнішніх тисках, розташовуються обернено пропорційно густинам цих рідин.

Якщо ₁ = ₂ = і р₁ р₂ , отримаємо: р₁ + ₁gh = p₂ + ₂ gh звідки

p₁ – p₂ = g(h₂ - h₁ ), чи h₂ – h₁ = (p₁ – p₂ )/ g (2.21)

Що означає : різниця зовнішніх тисків визначається висотою стовпа рідини у сполучених посудинах і дорівнює різниці відміток рівнів рідини у посудинах.

А якщо р₁ = р₂ і р₁ = р₂ отримаємо: h₁ = h₂ Тобто, поверхні однакових рідин стають на одному рівні у сполучених посудинах за умов рівності зовнішніх тисків, що діють на вільні поверхні.

Гідравлічний прес.

Розглянемо закони гідростатики на прикладі гідравлічного преса (рис. 2.9), в якому малі зусилля перетворюються на великі. Порівняно невеликі зусилля Р₁ прикладені до малого поршня діаметром d створює тиск p = ( 4p₁ )/ d² . За законом Паскаля цей тиск буде передаватися у більший циліндр діаметром D, і створює на поршні зусилля: р = p (( D²)/4) Очевидно, що р₂/p₁ = D²/d² чи у загальному випадку р₂/р₁ = F₂/F₁ тобто зусилля, що створюються у великому і малому циліндрах, прямо пропорційні площам торцевих поверхонь поршнів.

рис. 2.9

Конструкція гідравлічного преса показана на (рис. 2.10). Визначимо зусилля стикання р₂ , що створюється - гідравлічним пресом у відповідності зі схемою його роботи. Якщо сила р₁ діє на важіль (а) з віссю шарніра О, то на поршень d передається зусилля р₁(а/d). При цьому тиск у циліндрі буде p = p₁ ((a4)/(b d²), цей тиск передається в циліндр преса D і створює загальне зусилля на поршень :

p₂ = p₁ ((aD²)/ (bd²)

рис. 2.10

Це рівняння дозволяє розрахувати теоретичне зусилля, створене гідравлічним пресом.

Коефіцієнт витрат на тертя можна прийняти рівним п = 0,85, тоді p₂ = p₁ ((aD²)/(bd²)) . (2.22)

Це рівняння враховує тільки механічний ККД, але у ньому нехтується масою поршнів чи плунжерів.

Рідинні прилади для вимірювання тиску.

У більшості випадків при вимірюванні тиску від 0 до 100кПа застосовують рідинні манометри, котрі забезпечують високу точність вимірювання як надлишкового тиску та і вакууму.

П’єзометр ( від грецького пєзо – тиск і метр – міряти ).Прилад що вимірює надлишковий тиск називається манометр, (найточнішими є п’єзометри) П’єзометр тонкостінна скляна трубка діаметром 10…15 мм, яка одним кінцем приєднується до посудини, в якій вимірюється тиск, а інший відкритий в атмосферу. Трубки монтують вертикально (рис.2.11).

рис. 2.11

Уявимо, що необхідно виміряти тиск у точці А, у разі коли система перебуває у рівновазі, то тиск що діє на точку, зліва і справа відносно перерізу 1-1 однаковий і згідно рівняння (2.1), баланс тисків становить : p₀ + gh = p_ат + gH звідси визначаємо: H = ((p₀ – p_ат)/( g))+h або:

H = (P_нл/ ( g)) +h, чи H – h = p_нл/ g (2.23)

Таким чином п’єзометр вимірює тиск виражений у метрах стовпа рідини, що знаходиться в посудині. Одній технічній атмосфері відповідає тиск у метрах стовпа рідини:

- водяний стовп h_вод = p/ _водg = p/ _вод = 10000/1000 = 10 м вод.ст.

- ртутний стовп h_рт = р/ _ртg = p/ _рт = 10000/13600 = 0,735 м рт. ст.

Вакуумметр. Поняття вакуум відноситься до тиску меншого за атмосферний. Розглянемо посудину , яка заповнена водою і запаяну зверху скляну трубку занурену відкритим кінцем у цю посудину. Будемо вважати що із трубки видалено частину повітря. При цьому вода підніметься по трубці на такий об’єм, на який видалено повітря з трубки. Тобто нестача тиску в трубці відносно атмосферного – називається вакуумом.

Прилади які вимірюють недостачу тиску до атмосферного, називають вакуумметрами.

Принцип вимірювання вакууму розглянуто на малюнку.

У відкриту посудину А з рідиною занурена трубка, яка в свою чергу, приєднана до посудини В, з якої видалено частину повітря, тобто р< p_атм. Під дією тиску атмосфери на відкриту поверхню рідини у посудині А, частина рідини підіймається у трубці, що сполучає між собою посудини А і В, і зупиняється на висоті Н. Ця висота відповідає кількості видаленого повітря із посудини В.

Складемо рівняння рівноваги для точки (а) відносно площини 1 – 1, у якій тиск дорівнює атмосферному.

p_ат = p + gH

, звідки

Н = (р_ат – р)/ g =p_вак/ g (2.24)

тобто різниця між атмосферним і абсолютним тиском у посудині В, що дорівнює висоті стовпа рідини у трубці вакуумметра, є мірою вакууму в посудині В.

За допомогою рідинних вакуумметрів можна вимірювати вакуум до 0,1 Па, надійна область застосування таких приладів до 10 Па.

Ртутно – чашкові манометри : ( рис. 2.12а.)

Вимірюють тиск понад 20…30 кПа. Як робочу рідину, використовують ртуть.

Ртутно – чашковий манометр це U – подібна трубка, в одному із колін якої знаходиться розширення у вигляді чаші.

Абсолютний тиск у точці (а) на поверхні ртуті у чаші становить:

р_абс = р_ат + _ртgH,

тобто

р_нл = _рт gH чи H = p_нл/ _рт g (2.25)

тобто висота ртутного стовпа, що відраховується від поверхні ртуті, показує надлишковий тиск.

Вимірюються у (мм рт. ст.)

а – ртутний манометр б – ртутний вакуумметр

рис. 2.12

Ртутно – чашковий вакуумметр: (рис. 2.12б), прилад практично такий самий, як і ртутний манометр, але вимірює не надлишковий тиск, а нестачу його до атмосферного.

Коли приєднати ртутну чашку до посудини з якої висмоктано певну кількість повітря, рівень ртуті у мірній трубці буде меншим ніж у чашці на висоту Н.

Стовп ртуті відраховується від поверхні ртуті у чашці, і показує вакуум в посудині. Тоді вакуум становить :

p_вак = _рт gH, чи H = p_вак/ _рт g (2.26)

Мікроманометр (вакуумметр) з похилою трубкою (рис. 2.13). Для вимірювання незначних тисків (розріджень), до 0,1…0,05 мм стовпа рідини, використовують рідинні п’єзометри (мікрометри мікро вакуумметри) з нахиленою під певним точно визначеним кутом

рис. 2.13

скляною трубкою. Замість незначної висоти Н маємо значно більшу величину L

L = H/ sin де – кут нахилу трубки. Виходячи з цього рівняння отримаємо: H = Lsin (2.27)

Робочою рідиною в цих приладах найчастіше є вода чи етанол, підфарбовані для кращого візуального сприйняття.

Диференціальний манометр(дифманометр)

Застосовується для вимірювання різниці великих тисків, у апаратах чи трубопроводах. (рис. 2.14а)

U- Подібна трубка, заповнена до певного рівня рідиною яка має іншу густину, ніж рідина в системі і не змішується з нею.

а –дифманометр для б – дифманометр для

вимірювання великих перепадів вимірювання малих перепадів

тиску. тиску.

рис. 2.14

Вимірювальна частина дифманометра може розглядатися за схемою сполучених посудин. На точку (а), що знаходиться в площині 1-1 розділу двох рідин, діє тиск зліва і, тому що рідина знаходиться в рівновазі, рівний йому тиск справа. Рівняння балансу тисків матиме вигляд:

p₁ + ₁ gh₁ = p₂+ ₂gH + ₁gh₂ звідки p₁ – p₂ = ₁ gh₁ + ₂ gH або, якщо винести за дужки ₁g, отримаємо p₁ – p₂ = ₁ g(h₂ – h₁)+ ₂ gH У цьому рівнянні h₂-h₁= - H і тому p₁- p₂ = gH( ₂ – ₁) чи H = (p₁ – p₂ )/g( ₂ – ₁ )

При вимірюванні малих різниць тиску (рис. 2.14б), за допомогою дифманометра, використовують рідину, яка має густину меншу ніж у рідини в системі. А різницю тисків розраховують за рівнянням :

p₁ – p₂ = gH ( p₁ –p₂), визначивши з цього виразу різницю рівнів, H = (p₁ – p₂)/g( ₁ – ₂) бачимо що, чим ближче по значенню р₂ до р_{1 ,} тим більшим буде перепад тисків Н і тим вище буде точність виміру.

Сила тиску рідини на обмежувальні поверхні.

Сила тиску рідини на плоскі стінки.

Для визначення сили тиску на площину F достатньо визначити тиск у довільній точці цієї площини (рис. 2.15). По іншому розраховується тиск на нахилену під кутом а, наприклад, при визначенні тиску на площину F бокової стінки посудини.

Рідина тисне на всі точки площини F неоднаково: у верхніх точках тиск буде меншим, а у нижніх - більшим.

Тому для визначення загальної сили тиску на плоску поверхню необхідно визначити звичайну силу тиску dP на нескінченно малу поверхню dF, розташованою навколо точки з глибиною занурення h, після чого отриманий вираз проінтегрувати по всій площині F. Згідно з основним законом гідростатики ця сила визначається як добуток тиску в точці на занурення площі поверхні, (2.2) dP = pdF де p – тиск у точці h.

Глибина занурення точки становить h = lsina.Виходячи з цього, і розраховуючи, що тиск у точці є арифметична сума зовнішнього тиску і тиску стовпа рідини, отримаємо:p = p₀ + gh, або p = p₀ + glsin

Підставимо отримане значення в попереднє рівняння, знайдемо: dP = (p₀ + glsin )dF. Розкриємо дужки і проінтегруємо цей вираз по площині F: P = p₀ F + pg sina _F l dF. Як відомо з курсу теоретичної механіки, інтеграл

{_F ldF є статичний момент площі F відносно осі Ох, яка співпадає з лінією зрізу рідини на похилій поверхні, і дорівнює добутку площі F на відстань l_с від лінії зрізу до центру тяжіння С площадки. Враховуючи , що глибина занурення центру тяжіння під шар рідини, пов’язана з розрізом l_c залежністю h_c = l_csin , отримаємо:

P = (p₀ + gh)F (2.28)

Таким чином, сила абсолютного гідростатичного тиску рідини на занурену в цю рідину плоску похилу поверхню дорівнює добутку змоченої площі цієї поверхні на тиск у її центру тяжіння. Із (2.28) можна визначити силу тиску коли

р₀ = р_ат ; P = gh_cF. (2.29)

Це рівняння використовують при розрахунках відкритих ємностей

Сила тиску на горизонтальну площину, де усі точки знаходяться під однаковим тиском, тому що всі вони знаходяться на однаковій глибині занурення h. Виходячи з цього, сила тиску на горизонтальну площину: дорівнює добутку площі поверхні F на гідростатичний тиск у довільній точці площини; Р_абс = р_абсF = (p₀+ gh)F.

При р₀ = р_ат, рівняння для визначення сили тиску набуває вигляду:

P = pghF, (2.30)

що відповідає вазі стовпа рідини з основою F і висотою h до вільної поверхні.

Гідростатичний парадокс: сили тиску на дно посудини однакові при однакових площинах дна F, густинах рідини p і глибинах h у посудинах. Але вага рідини і реакція опор R, на які опираються посудини, будуть різні.