Поверхні рівного тиску.

Подамо систему (2.8) у іншому вигляді:

дp/дx = X

дp/дy = Y (2.9)

дp/дz = Z

(2.9) перетворимо, помноживши рівняння системі відповідно на :dx, dy, dz і додамо їх одне до одного.

(дp/дx)dx + (дp/дy)dy + (дp/дz)dz =

= (Xdx + Ydy + Zdz) (2.10)

Ліва частина – повний диференціал тиску dp. Враховуючи це, рівняння набувае вигляду:

dp = (Xdx + Ydy + Zdz) (2.11)

Цей вираз називається - основним диференціальним рівнянням гідростатики. Звідси отримуємо рівняння для поверхні рівного тиску , у всіх точках якої виконується умова : p = const, = const, при цьому dp = 0. Тоді рівняння рівних тисків набуває вигляду:

Xdx + Ydy + Zdz = 0 (2.12)

Виходячи з ( 2.12), геометричне місце точок з однаковим тиском p = const, dp = 0, називається поверхнею рівного тиску, чи поверхнею рівня.

Форма вільної поверхні рідини у стані спокою.

Вільною поверхнею називається – межа яка ділить рідину в посуді і навколишнім середовищем. Розглянемо посудину (рис. 2.4) у системі координат. Вибираємо на вільній поверхні довільну точку. На неї діє тільки сила тяжіння G = m/g. Беремо рівняння поверхні рівного тиску: Xdx+Ydy +Zdz = 0 і проаналізуємо його. Прискорення масової сили G на вісі Ох – Х = 0; Оу- У = 0; Z = -g. Приймаючи ці умови рівняння набуває вигляду -gdz = 0.

рис. 2.4

У цьому рівнянні g = 0 ,a dz = 0.Після інтегрування отримаємо ;

Z = const. (2.13)

Таким чином з’ясовуємо що вільна поверхня буде горизонтальною площиною. І в свою чергу буде наближатися до форми землі.

Основне рівняння гідростатики

Розглянемо у системі координат якусь ємність (рис.2.5).Виділимо в ній точку А.На неї будуть діяти як поверхневі так і масові сили. У звязку з тим що поверхневі сили урівноважені, то на точку діятимуть тільки сили тяжіння G = mg. Запишимо рівняння Ейлера: dp = (Xdx + Ydy + Z dz). Проаналізуємо це рівняння. Проекції осей координат до масових сил прискорення, сили тяжіння становлять: X = 0, Y = 0, у цьому випадку Z = - g ,a dp = -pgdz. Розділивши обидві частини рівняння рg і перенести ліворуч її члени отримаємо:

рис. 2.5

(dp/ g) +dz = 0.

А оскільки сума диференціалів дорівнює диференціалу суми, то:d((p/ g)+z) = 0 (2.14)

Після інтегрування отримуємо: z + (p/ g) = idem ( 2.15)

Отримана величина , однакова для всіх точок об’єму однорідної крапельної рідини, називається гідростатичним напором Н_s:

H_s = z + (p/ g) = idem. (2.16)

Де z – геометричний напір , p/(pg) - п’єзометричний напір.

Для кількох точок які знаходяться на різній глибині рівняння набуває вигляду:

H_s = z₁+ (p₁/ g) = z₂ + ( p₂/ g) = …. = z_n+ ( p_n/ g) idem (2.17)

Або – сума двох напорів геометричного і п’єзометричного є величина стала для різних точок рідини і дорівнює гідростатичному напору. Окрім гідравлічного тлумачення існує ще й енергетичне – сума двох питомих потенційних енергій положення (z ) і тиску (p/ g ) є величина стала для замкненої системи і дорівнює загальній потенційній енергії цієї системи.

Розподіл тиску в об’ємі рідини.

Закон Паскаля.

Визначимо у двох різних точках , різницю тисків (рис. 2.6). Для чого використаємо основне рівняння гідростатики:

рис. 2.6

z₁ + (p1/ g) = z₂+ (p₂/ g) де р₁ і р₂ – гідростатичний тиск відповідно у точці 1 і 2.Визначимо різницю геометричних напорів: z1 – z₂ = (p₁ – p₂)/ ( g) Позначимо глибину занурення точки 2 під рівень рідини у точці 1 через h = z ₁-z₂ Тоді (p₁ – p₂)/ ( g) виходячи з цього виразу визначаємо тиск у точках 1 і 2

р₂ = р₁ + gh

p₁ = p₂ – gh (2.18)

Або – тиск у певній точці нестисливої рідини, дорівнює тиску у відомій точці плюс чи мінус тиск стовпа рідини , що відповідає глибині занурення однієї точки під іншу.

З пояснення виходить, що для визначення гідростатичного тиску у довільній точці рідини необхідно знати тиск у певній точці, чи на її поверхні. Візьмемо точку на поверхні рідини, на неї діятиме сталий зовнішній тиск (рис. 2.7), тоді для довільних точок 1,2…n записуються такі рівняння:

p₁ = p₀+ gh₁

p₂ = p₀ + gh₂

або у загальному вигляді:

(2.19)

рис. 2.7

Закон Паскаля – гідростатичний тиск у довільній точці нестисливої рідини дорівнює зовнішньому тиску плюс тиск стовпа рідини висотою рівною глибині занурення до тієї ж довільної точки.

Друге тлумачення закону Паскаля – зовнішній тиск у довільній точці нестисливої рідини розповсюджується однаково по всьому об’єму і діє однаково у всіх напрямках за модулем сили.

Абсолютний тиск – це сума атмосферного і надлишкового тисків: p_абс = p_атм + p_на

Під надлишковим,(манометричним) розуміють різницю між повним абсолютним тиском і атмосферним:

p_на = p_абс – p_ат (2.20)

Манометричний тиск вимірюється приладами. Якщо на вільній поверхні атмосферний тиск то за формулою (2.20)

p_на = gh де h – глибина занурення точки під шар рідини

Якщо абсолютний тиск у рідині менший атмосферного (вакуум), котрий вимірюється вакуометром тоді:

p_вак = p_ат - p_абс де Р_абс – не може бути від’ємною величиною.

Атмосферний тиск у інженерних розрахунках приймають рівним 10000 кгс/м² = 1 кгс/см² = 98100 Па = 98,1кПа, що відповідає приблизно атмосферному тиску на висоті 200м над рівнем моря, створеному водяним стовпом 10м.

Величина тиску р з 1 кгс/см² = 98,1 кПа називається технічною. І у подальшому при розрахунках якщо не буде обумовлено, атмосферний тиск прийматимемо рівним названому.